Решение системы уравнений методом Гаусса

Решение системы уравнений методом Гаусса: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 2 \quad (1) \\ 3x_1 - 2x_2 - x_3 - x_4 = -1 \quad (2) \\ 5x_1 - 3x_2 - 4x_3 - 2x_4 = -4 \quad (3) \\ 7x_1 - 4x_2 - 7x_3 - 5x_4 = -7 \quad (4) \end{cases} \] 1. Исключим \(x_1\) из уравнений (2), (3) и (4). Для этого из (2) вычтем (1), умноженное на 3; из (3) вычтем (1), умноженное на 5; из (4) вычтем (1), умноженное на 7: \[ (2) - 3 \cdot (1): \quad x_2 - 7x_3 - 7x_4 = -7 \quad (2') \] \[ (3) - 5 \cdot (1): \quad 2x_2 - 14x_3 - 12x_4 = -14 \quad (3') \] \[ (4) - 7 \cdot (1): \quad 3x_2 - 21x_3 - 19x_4 = -21 \quad (4') \] 2. Теперь исключим \(x_2\) из уравнений (3') и (4'). Для этого из (3') вычтем (2'), умноженное на 2; из (4') вычтем (2'), умноженное на 3: \[ (3') - 2 \cdot (2'): \quad (2x_2 - 14x_3 - 12x_4) - 2(x_2 - 7x_3 - 7x_4) = -14 - 2(-7) \] \[ 2x_4 = 0 \implies x_4 = 0 \] \[ (4') - 3 \cdot (2'): \quad (3x_2 - 21x_3 - 19x_4) - 3(x_2 - 7x_3 - 7x_4) = -21 - 3(-7) \] \[ 2x_4 = 0 \implies x_4 = 0 \] 3. Мы получили, что \(x_4 = 0\). Теперь подставим это значение в уравнение (2'): \[ x_2 - 7x_3 - 7(0) = -7 \] \[ x_2 = 7x_3 - 7 \] 4. Подставим \(x_4 = 0\) и \(x_2 = 7x_3 - 7\) в уравнение (1), чтобы найти \(x_1\): \[ x_1 - (7x_3 - 7) + 2x_3 + 2(0) = 2 \] \[ x_1 - 7x_3 + 7 + 2x_3 = 2 \] \[ x_1 - 5x_3 = -5 \] \[ x_1 = 5x_3 - 5 \] 5. Система имеет бесконечное множество решений, зависящих от параметра \(x_3\). Пусть \(x_3 = c\). Ответ: \[ x_1 = 5c - 5 \] \[ x_2 = 7c - 7 \] \[ x_3 = c \] \[ x_4 = 0 \] где \(c\) — любое действительное число.