Решение контрольной работы по алгебре за 1 полугодие (8 класс)

Контрольная работа за 1 полугодие по алгебре Задание 1. Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{0,25 \cdot 64} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{64} = 0,5 \cdot 8 = 4\) б) \(\sqrt{56} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{56 \cdot 14} = \sqrt{4 \cdot 14 \cdot 14} = \sqrt{4 \cdot 14^2} = 2 \cdot 14 = 28\) в) \(\sqrt{3^4 \cdot 2^6} = 3^{4/2} \cdot 2^{6/2} = 3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72\) г) \(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2\) Задание 2. Сравните: \(\frac{1}{2}\sqrt{12}\) и \(\frac{1}{3}\sqrt{45}\) Внесем множители под знак корня: \(\frac{1}{2}\sqrt{12} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12} = \sqrt{3}\) \(\frac{1}{3}\sqrt{45} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 45} = \sqrt{5}\) Так как \(3 < 5\), то \(\sqrt{3} < \sqrt{5}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45}\) Задание 3. Решить уравнения: а) \(x^2 = 49\) \(x = \pm\sqrt{49}\) \(x_1 = 7, x_2 = -7\) б) \(x^2 = 10\) \(x = \pm\sqrt{10}\) Задание 4. Решите уравнения: а) \(3x^2 + 13x - 10 = 0\) \(D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2\) \(x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) \(x_2 = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5\) б) \(2x^2 = 3x\) \(2x^2 - 3x = 0\) \(x(2x - 3) = 0\) \(x_1 = 0\) или \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 1,5\) в) \(16x^2 = 49\) \(x^2 = \frac{49}{16}\) \(x = \pm\sqrt{\frac{49}{16}}\) \(x_1 = 3,5, x_2 = -3,5\) (или \(\pm 1,75\)) г) \(x^2 - 2x - 35 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\) \(x_1 \cdot x_2 = -35\) \(x_1 = 7, x_2 = -5\) Задание 5 (в тексте номер 4 повторно). Задача: Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Периметр \(P = 2(a + b) = 30 \Rightarrow a + b = 15 \Rightarrow b = 15 - a\) Площадь \(S = a \cdot b = 56\) Подставим \(b\): \(a(15 - a) = 56\) \(15a - a^2 = 56\) \(a^2 - 15a + 56 = 0\) По теореме Виета: \(a_1 + a_2 = 15\) \(a_1 \cdot a_2 = 56\) Корни: \(7\) и \(8\). Если \(a = 7\), то \(b = 8\). Если \(a = 8\), то \(b = 7\). Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.