Решение задачи: Найти сторону NK в треугольнике MNK

Дано: В треугольнике \( MNK \): \( \angle K = 45^\circ \) \( \angle N = 75^\circ \) \( MN = 40\sqrt{2} \) Найти: Сторону \( NK \). Решение: 1. Найдем третий угол треугольника \( \angle M \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \[ \angle M = 180^\circ - (\angle K + \angle N) \] \[ \angle M = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] 2. Для нахождения стороны \( NK \) воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{NK}{\sin(\angle M)} = \frac{MN}{\sin(\angle K)} \] 3. Выразим \( NK \): \[ NK = \frac{MN \cdot \sin(\angle M)}{\sin(\angle K)} \] 4. Подставим известные значения: \[ NK = \frac{40\sqrt{2} \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)} \] 5. Используем табличные значения тригонометрических функций \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ NK = \frac{40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] 6. Сократим дробь: \[ NK = \frac{20\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \] \[ NK = 40\sqrt{\frac{6}{2}} = 40\sqrt{3} \] Ответ: \( NK = 40\sqrt{3} \)