Решение задачи №10: Вероятность попадания в интервал

Задача №10 Дано: Математическое ожидание \( m = 11 \). Среднее квадратичное отклонение \( \sigma = 4 \). Случайная величина \( X \) распределена нормально. Решение: а) Найдем вероятность того, что \( X \) примет значение из интервала \( (13; 23) \). Для нормально распределенной величины вероятность попадания в интервал \( (\alpha; \beta) \) вычисляется по формуле: \[ P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - m}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{\alpha - m}{\sigma}\right) \] где \( \Phi(x) \) — функция Лапласа. Подставим значения: \[ P(13 < X < 23) = \Phi\left(\frac{23 - 11}{4}\right) - \Phi\left(\frac{13 - 11}{4}\right) \] \[ P(13 < X < 23) = \Phi\left(\frac{12}{4}\right) - \Phi\left(\frac{2}{4}\right) = \Phi(3) - \Phi(0,5) \] По таблице значений функции Лапласа: \( \Phi(3) \approx 0,49865 \) \( \Phi(0,5) \approx 0,19146 \) \[ P(13 < X < 23) = 0,49865 - 0,19146 = 0,30719 \] б) Найдем вероятность того, что абсолютная величина отклонения \( |X - m| \) окажется меньше 6. Формула для вероятности отклонения нормально распределенной величины от ее математического ожидания: \[ P(|X - m| < \delta) = 2\Phi\left(\frac{\delta}{\sigma}\right) \] В нашем случае \( \delta = 6 \): \[ P(|X - 11| < 6) = 2\Phi\left(\frac{6}{4}\right) = 2\Phi(1,5) \] По таблице значений функции Лапласа: \( \Phi(1,5) \approx 0,43319 \) \[ P(|X - 11| < 6) = 2 \cdot 0,43319 = 0,86638 \] Ответ: а) 0,30719; б) 0,86638.