Задача
Определить координату \(x_c\) центра тяжести площади кругового сектора OAB, если радиус \(r = 7,6\) м, а угол \(\alpha = 30^\circ\).
Дано:
- Радиус сектора \(r = 7,6\) м
- Угол сектора \(\alpha = 30^\circ\)
Найти:
- Координату \(x_c\) центра тяжести
Решение:
1. Для начала переведем угол \(\alpha\) из градусов в радианы. Общий угол сектора равен \(2\alpha\).
\[2\alpha = 2 \times 30^\circ = 60^\circ\]Переводим в радианы:
\[60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}\]Таким образом, угол, который используется в формуле для центра тяжести, равен \(\frac{\pi}{3}\) радиан.
2. Формула для координаты \(x_c\) центра тяжести кругового сектора, симметричного относительно оси x, имеет вид:
\[x_c = \frac{2r \sin(2\alpha)}{3 \cdot 2\alpha}\]где \(r\) - радиус сектора, а \(2\alpha\) - полный угол сектора в радианах.
3. Подставим известные значения в формулу:
\[x_c = \frac{2 \times 7,6 \times \sin(\frac{\pi}{3})}{3 \times \frac{\pi}{3}}\]4. Вычислим значение \(\sin(\frac{\pi}{3})\):
\[\sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]5. Подставим это значение обратно в формулу:
\[x_c = \frac{2 \times 7,6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \times \frac{\pi}{3}}\]6. Упростим выражение:
\[x_c = \frac{7,6 \times \sqrt{3}}{\pi}\]7. Вычислим приближенное значение:
Примем \(\sqrt{3} \approx 1,732\) и \(\pi \approx 3,14159\).
\[x_c = \frac{7,6 \times 1,732}{3,14159}\] \[x_c = \frac{13,1632}{3,14159}\] \[x_c \approx 4,1900\]Округлим до двух знаков после запятой:
\[x_c \approx 4,19 \text{ м}\]Ответ:
Координата \(x_c\) центра тяжести кругового сектора составляет примерно \(4,19\) м.