Решение задачи: Параллельные плоскости и пропорциональность отрезков

Дано: Плоскости \(\alpha \parallel \beta\). Стороны угла с вершиной в точке \(C\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A\) и \(A_1\), а плоскость \(\beta\) в точках \(B\) и \(B_1\). \(AA_1 = 6\) \(AC = 8\) \(AB = 15\) Найти: \(BB_1\) Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(CAA_1\) и \(CBB_1\). Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то прямые \(AA_1\) и \(BB_1\), лежащие в плоскости угла и в параллельных плоскостях, также параллельны (\(AA_1 \parallel BB_1\)). 2. Из параллельности прямых следует, что треугольники \(CAA_1\) и \(CBB_1\) подобны по двум углам (угол \(C\) — общий, \(\angle CAA_1 = \angle CBB_1\) как соответственные при параллельных прямых). 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AA_1}{BB_1} = \frac{AC}{BC} \] 4. Найдем длину отрезка \(BC\). Точка \(A\) лежит на отрезке \(BC\), поэтому: \[ BC = AC + AB = 8 + 15 = 23 \] 5. Подставим известные значения в пропорцию: \[ \frac{6}{BB_1} = \frac{8}{23} \] 6. Выразим и вычислим \(BB_1\): \[ BB_1 = \frac{6 \cdot 23}{8} \] \[ BB_1 = \frac{138}{8} \] \[ BB_1 = 17,25 \] Ответ: \(BB_1 = 17,25\)