Решение задач по геометрии: трапеции (высота и периметр)

Решение задач по геометрии (трапеции) Задача 5 (Рис. 163) Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)), \(BC = 5\), \(AD = 15\), диагонали перпендикулярны. Найти: \(CE\). Решение: 1. Так как трапеция равнобедренная и её диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии: \[h = \frac{BC + AD}{2}\] 2. Отрезок \(CE\) является высотой трапеции. Подставим значения: \[CE = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10\] Ответ: \(CE = 10\). Задача 6 (Рис. 164) Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(BC = 5\), \(AD = 15\), \(\angle CAD = 30^\circ\), \(\angle BAE = 60^\circ\), \(AB = BC\). Найти: \(P_{ABCD}\). Решение: 1. Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ\) (накрест лежащие). 2. В \(\triangle ABC\) стороны \(AB = BC = 5\), значит он равнобедренный, \(\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ\). 3. Угол \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\). 4. Из рисунка видно, что \(\angle CDA = 90^\circ\) (прямой угол у вершины \(C\) относится к треугольнику с высотой, но по чертежу \(CD \perp AD\)). Если \(CD\) — высота, то в прямоугольном \(\triangle ACD\): \[CD = AD \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}\] Однако, если рассматривать трапецию как равнобедренную (исходя из углов при основании), то \(CD = AB = 5\). Судя по обозначениям равенства сторон \(AB\) и \(BC\), \(AB = 5\). Если углы при основании \(A\) и \(D\) равны \(60^\circ\), то \(CD = 5\). 5. Периметр: \[P = AB + BC + CD + AD = 5 + 5 + 5 + 15 = 30\] Ответ: \(P = 30\). Задача 7 (Рис. 165) Дано: \(ABCM\) — равнобедренная трапеция, \(BC = 5\), \(AM = 7\), \(\angle A = \angle M = 60^\circ\). Найти: \(CM\). Решение: 1. Проведем высоты \(BK\) и \(CP\). В равнобедренной трапеции \(AK = PM\). 2. Отрезок \(KP = BC = 5\). 3. Найдем \(AK\): \[AK = \frac{AM - BC}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1\] 4. В прямоугольном \(\triangle CPM\): \(\angle M = 60^\circ\), значит \(\angle PCM = 30^\circ\). 5. Катет \(PM\), лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы \(CM\): \[CM = 2 \cdot PM = 2 \cdot 1 = 2\] Ответ: \(CM = 2\). Задача 8 (Рис. 166) Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(BC = CD\), \(BD \perp AB\), \(\angle A = 50^\circ\). Найти: \(\angle C\). Решение: 1. В прямоугольном \(\triangle ABD\): \(\angle ADB = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\). 2. Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle CBD = \angle ADB = 40^\circ\) (накрест лежащие). 3. В равнобедренном \(\triangle BCD\) (\(BC = CD\)): \(\angle BDC = \angle CBD = 40^\circ\). 4. Сумма углов в \(\triangle BCD\) равна \(180^\circ\): \[\angle C = 180^\circ - (\angle CBD + \angle BDC) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ\] Ответ: \(\angle C = 100^\circ\). Задача 9 (Рис. 167) Дано: \(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(BC = a\), \(AD = b\), \(BE\) — высота. Найти: \(AE\) и \(AD\). Решение: 1. В прямоугольной трапеции с высотой \(BE\), отрезок \(ED = BC = a\). 2. Отрезок \(AE = AD - ED = b - a\). 3. По чертежу \(AD = b\). Ответ: \(AE = b - a\), \(AD = b\).