Решение задач с рисунков 163, 164 и 165

Ниже представлено решение задач с рисунков 163, 164 и 165, оформленное для записи в тетрадь. Задача №5 (Рис. 163) Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)), \(BC = 5\), \(AD = 15\), \(AC \perp BD\), \(CE\) — высота. Найти: \(CE\). Решение: 1. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований: \[ED = \frac{AD + BC}{2} = \frac{15 + 5}{2} = 10\] 2. Так как диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии: \[CE = \frac{AD + BC}{2} = 10\] Ответ: \(CE = 10\). Задача №6 (Рис. 164) Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD = 15\), \(BC = 5\), \(AB = CD\) (по чертежу), \(\angle CAD = 30^\circ\), \(\angle BAC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\). Найти: \(P_{ABCD}\). Решение: 1. Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ\) (как накрест лежащие). 2. В треугольнике \(ABC\): \(\angle BAC = 30^\circ\) и \(\angle BCA = 30^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABC\) — равнобедренный, \(AB = BC = 5\). 3. Так как трапеция равнобедренная, то \(CD = AB = 5\). 4. Периметр трапеции: \[P = AB + BC + CD + AD = 5 + 5 + 5 + 15 = 30\] Ответ: \(P = 30\). Задача №7 (Рис. 165) Дано: \(ABCM\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CM\)), \(BC = 5\), \(AM = 7\), \(\angle A = 60^\circ\), \(BK\) и \(CP\) — высоты. Найти: \(CM\). Решение: 1. В равнобедренной трапеции \(AK = PM\). Отрезок \(KP = BC = 5\). 2. Найдем отрезок \(AK\): \[AK = \frac{AM - BC}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABK\). Косинус угла \(A\): \[\cos(60^\circ) = \frac{AK}{AB} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{AB} \Rightarrow AB = 2\] 4. Так как трапеция равнобедренная, то \(CM = AB = 2\). Ответ: \(CM = 2\).