Задача: Решите уравнение
\[4\frac{5}{14} - \left(x - 7\frac{3}{14}\right) = 2\frac{9}{14}\]Решение:
Перепишем исходное уравнение:
\[4\frac{5}{14} - \left(x - 7\frac{3}{14}\right) = 2\frac{9}{14}\]Для начала, переведем все смешанные дроби в неправильные.
\[4\frac{5}{14} = \frac{4 \cdot 14 + 5}{14} = \frac{56 + 5}{14} = \frac{61}{14}\] \[7\frac{3}{14} = \frac{7 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{98 + 3}{14} = \frac{101}{14}\] \[2\frac{9}{14} = \frac{2 \cdot 14 + 9}{14} = \frac{28 + 9}{14} = \frac{37}{14}\]Теперь подставим эти значения в уравнение:
\[\frac{61}{14} - \left(x - \frac{101}{14}\right) = \frac{37}{14}\]Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
\[\frac{61}{14} - x + \frac{101}{14} = \frac{37}{14}\]Сложим дроби в левой части уравнения:
\[\frac{61 + 101}{14} - x = \frac{37}{14}\] \[\frac{162}{14} - x = \frac{37}{14}\]Теперь выразим \(x\). Для этого перенесем \(x\) в правую часть, а \(\frac{37}{14}\) в левую часть уравнения. При переносе через знак равенства знаки меняются на противоположные:
\[\frac{162}{14} - \frac{37}{14} = x\]Выполним вычитание дробей:
\[x = \frac{162 - 37}{14}\] \[x = \frac{125}{14}\]Переведем неправильную дробь обратно в смешанную:
\[\frac{125}{14} = 125 \div 14\]Выполним деление:
125 делим на 14.
14 умножить на 8 будет 112.
14 умножить на 9 будет 126 (это больше 125, значит, берем 8).
Целая часть равна 8.
Остаток: \(125 - 8 \cdot 14 = 125 - 112 = 13\).
Значит, \(x = 8\frac{13}{14}\).
Проверка:
Подставим найденное значение \(x\) в исходное уравнение:
\[4\frac{5}{14} - \left(8\frac{13}{14} - 7\frac{3}{14}\right) = 2\frac{9}{14}\]Выполним вычитание в скобках:
\[8\frac{13}{14} - 7\frac{3}{14} = (8-7) + \left(\frac{13}{14} - \frac{3}{14}\right) = 1 + \frac{10}{14} = 1\frac{10}{14}\]Теперь подставим результат обратно в уравнение:
\[4\frac{5}{14} - 1\frac{10}{14} = 2\frac{9}{14}\]Выполним вычитание смешанных дробей. Так как \(\frac{5}{14} < \frac{10}{14}\), займем единицу у целой части:
\[4\frac{5}{14} = 3 + 1 + \frac{5}{14} = 3 + \frac{14}{14} + \frac{5}{14} = 3\frac{19}{14}\]Теперь вычтем:
\[3\frac{19}{14} - 1\frac{10}{14} = (3-1) + \left(\frac{19}{14} - \frac{10}{14}\right) = 2 + \frac{9}{14} = 2\frac{9}{14}\]Левая часть уравнения равна \(2\frac{9}{14}\), что совпадает с правой частью. Значит, решение верное.
Ответ:
\[x = 8\frac{13}{14}\]