Задача:
Локомотив движется по рельсам по инерции и автоматически сцепляется с неподвижным вагоном. Как при этом меняются по модулю импульс локомотива и импульс вагона относительно земли? Систему тел считать замкнутой.
Варианты ответа:
- Импульс локомотива не меняется, импульс вагона увеличивается
- Импульс локомотива увеличивается, импульс вагона уменьшается
- Импульс локомотива уменьшается, импульс вагона не меняется
- Импульс локомотива уменьшается, импульс вагона увеличивается
Решение:
1. Анализ условия задачи:
- Локомотив движется по инерции, то есть на него не действуют внешние силы, кроме сил трения, которые в данном случае, вероятно, пренебрегаются, так как система считается замкнутой.
- Вагон изначально неподвижен.
- Происходит сцепление, то есть абсолютно неупругое столкновение.
- Система "локомотив + вагон" считается замкнутой. Это означает, что сумма импульсов всех тел в системе до взаимодействия равна сумме импульсов всех тел после взаимодействия (закон сохранения импульса).
2. Закон сохранения импульса:
Для замкнутой системы тел суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия.
Пусть:
- \(m_л\) - масса локомотива
- \(v_л\) - скорость локомотива до сцепления
- \(m_в\) - масса вагона
- \(v_в = 0\) - скорость вагона до сцепления (он неподвижен)
- \(V\) - общая скорость локомотива и вагона после сцепления (они движутся как единое целое)
Импульс локомотива до сцепления: \(p_л = m_л v_л\)
Импульс вагона до сцепления: \(p_в = m_в v_в = m_в \cdot 0 = 0\)
Суммарный импульс системы до сцепления: \(P_{до} = p_л + p_в = m_л v_л + 0 = m_л v_л\)
После сцепления локомотив и вагон движутся вместе с общей массой \((m_л + m_в)\) и скоростью \(V\).
Суммарный импульс системы после сцепления: \(P_{после} = (m_л + m_в) V\)
По закону сохранения импульса:
\[m_л v_л = (m_л + m_в) V\]
Из этого уравнения можно найти скорость \(V\):
\[V = \frac{m_л v_л}{m_л + m_в}\]
3. Изменение импульсов:
- Импульс локомотива:
До сцепления: \(p_л = m_л v_л\)
После сцепления (в составе общей системы): \(p'_{л} = m_л V = m_л \frac{m_л v_л}{m_л + m_в}\)
Так как \(m_л + m_в > m_л\), то \(\frac{m_л}{m_л + m_в} < 1\). Следовательно, \(V < v_л\).
Это означает, что \(p'_{л} < p_л\). Импульс локомотива уменьшается.
- Импульс вагона:
До сцепления: \(p_в = 0\)
После сцепления (в составе общей системы): \(p'_{в} = m_в V = m_в \frac{m_л v_л}{m_л + m_в}\)
Так как \(V > 0\) (система движется), то \(p'_{в} > 0\). Импульс вагона увеличивается (от нуля до некоторого значения).
4. Вывод:
Импульс локомотива уменьшается, а импульс вагона увеличивается.
Правильный ответ:
4. Импульс локомотива уменьшается, импульс вагона увеличивается