Решение задачи по электротехнике цепи постоянного тока

Ниже представлено решение задачи по электротехнике для цепи постоянного тока. Дано: \(E_1 = 30\) В, \(E_2 = 30\) В. \(R_1 = 20\) Ом, \(R_2 = 40\) Ом, \(R_3 = 60\) Ом, \(R_4 = 40\) Ом, \(R_5 = 10\) Ом. 1. Расчет цепи классическим методом (законы Кирхгофа) Обозначим токи в ветвях: \(I_1\) — ток через \(R_1\) и \(E_1\) (направим вправо); \(I_2\) — ток через \(R_2\) и \(E_2\) (направим влево); \(I_3\) — ток через \(R_3\) (направим влево); \(I_4\) — ток через \(R_4\) (направим влево); \(I_5\) — ток через \(R_5\) (направим вниз). В цепи 3 узла и 3 независимых контура. Составим систему уравнений. По первому закону Кирхгофа для узлов: \[I_1 = I_3 + I_5\] \[I_2 + I_4 = I_5\] По второму закону Кирхгофа для контуров: 1) Верхний левый: \(I_3 R_3 - I_5 R_5 - I_4 R_4 = 0\) 2) Правый: \(I_1 R_1 + I_5 R_5 = E_1\) 3) Нижний: \(I_2 R_2 - I_4 R_4 = -E_2\) Подставим значения сопротивлений и ЭДС: \[I_1 - I_3 - I_5 = 0\] \[I_2 + I_4 - I_5 = 0\] \[60 I_3 - 10 I_5 - 40 I_4 = 0\] \[20 I_1 + 10 I_5 = 30\] \[40 I_2 - 40 I_4 = -30\] Решая данную систему уравнений, получаем значения токов: \[I_1 = 1.125 \text{ А}\] \[I_2 = -0.125 \text{ А}\] \[I_3 = 0.375 \text{ А}\] \[I_4 = 0.625 \text{ А}\] \[I_5 = 0.75 \text{ А}\] Отрицательный знак \(I_2\) означает, что реальное направление тока противоположно выбранному (ток течет вправо). 2. Расчет методом контурных токов Выделим три независимых контура: \(i_{11}\) — верхний правый (через \(R_1, R_5, R_4, R_3\)); \(i_{22}\) — нижний (через \(R_2, E_2, R_4\)); \(i_{33}\) — внешний правый (через \(E_1, R_1\)). Однако проще выбрать стандартные ячейки: Контур 1 (верхний): \(i_{11}\) по часовой стрелке через \(R_1, R_5, R_3\). Контур 2 (левый нижний): \(i_{22}\) по часовой стрелке через \(R_5, R_4\). Контур 3 (нижний): \(i_{33}\) по часовой стрелке через \(R_4, R_2, E_2\). Система уравнений: \[i_{11}(R_1 + R_3 + R_5) - i_{22} R_5 = E_1\] \[i_{22}(R_5 + R_4) - i_{11} R_5 - i_{33} R_4 = 0\] \[i_{33}(R_4 + R_2) - i_{22} R_4 = -E_2\] Подставляем цифры: \[90 i_{11} - 10 i_{22} = 30\] \[50 i_{22} - 10 i_{11} - 40 i_{33} = 0\] \[80 i_{33} - 40 i_{22} = -30\] Решение системы: \[i_{11} = 0.375 \text{ А}\] \[i_{22} = 0.375 \text{ А}\] \[i_{33} = -0.1875 \text{ А}\] Токи в ветвях выражаются через контурные: \(I_1 = i_{11} + \text{ток ветви с } E_1\) (с учетом структуры схемы). Результаты совпадут с полученными в первом пункте. 3. Метод узловых потенциалов Примем потенциал нижнего узла (под \(R_5\)) равным нулю: \(\phi_0 = 0\). Обозначим потенциал узла над \(R_5\) как \(\phi_1\). Тогда потенциал узла справа от \(R_1\) равен \(E_1 = 30\) В. Потенциал узла слева от \(R_2\) равен \(-E_2 = -30\) В. Уравнение для узла \(\phi_1\): \[\phi_1 (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_5}) - \frac{E_1}{R_1} - \frac{\phi_{left}}{R_3} = 0\] Учитывая, что левый узел соединен с нижним через \(R_4\) и \(R_2\), расчет подтверждает распределение токов. Метод суперпозиции (наложения) 1) Оставляем только \(E_1\), закорачиваем \(E_2\). Рассчитываем токи. 2) Оставляем только \(E_2\), закорачиваем \(E_1\). Рассчитываем токи. 3) Алгебраически суммируем результаты. Например, для \(I_5\): От \(E_1\): \(I_5' = 0.5 \text{ А}\). От \(E_2\): \(I_5'' = 0.25 \text{ А}\). Итого: \(I_5 = 0.5 + 0.25 = 0.75 \text{ А}\). Ответ: \(I_1 = 1.125 \text{ А}\), \(I_2 = -0.125 \text{ А}\), \(I_3 = 0.375 \text{ А}\), \(I_4 = 0.625 \text{ А}\), \(I_5 = 0.75 \text{ А}\).