Дано:
- Радиус сектора \(r = 6,9\) м
- Угол сектора \(2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\) (так как на рисунке показано, что угол сектора симметричен относительно оси \(x\), и каждая половина равна \(\alpha\))
Найти:
- Координату \(x_c\) центра тяжести.
Решение:
1. Переведем угол \(\alpha\) из градусов в радианы. Для этого воспользуемся формулой:
\[\text{угол в радианах} = \text{угол в градусах} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\] \[\alpha = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ радиан}\]2. Для кругового сектора, симметричного относительно оси \(x\), координата \(y_c\) центра тяжести будет равна нулю, так как ось \(x\) является осью симметрии. Координата \(x_c\) центра тяжести определяется по формуле:
\[x_c = \frac{2r \sin \alpha}{3\alpha}\]где \(r\) - радиус сектора, \(\alpha\) - половина полного угла сектора (в радианах).
3. Подставим известные значения в формулу:
\[x_c = \frac{2 \cdot 6,9 \cdot \sin(\frac{\pi}{6})}{3 \cdot \frac{\pi}{6}}\]4. Вычислим значение \(\sin(\frac{\pi}{6})\):
\[\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(30^\circ) = 0,5\]5. Продолжим вычисления:
\[x_c = \frac{2 \cdot 6,9 \cdot 0,5}{\frac{3\pi}{6}}\] \[x_c = \frac{6,9}{\frac{\pi}{2}}\] \[x_c = \frac{6,9 \cdot 2}{\pi}\] \[x_c = \frac{13,8}{\pi}\]6. Используем приближенное значение \(\pi \approx 3,14159\):
\[x_c \approx \frac{13,8}{3,14159}\] \[x_c \approx 4,3926\]7. Округлим результат до двух знаков после запятой, как это часто принято в инженерных расчетах:
\[x_c \approx 4,39 \text{ м}\]Ответ:
Координата \(x_c\) центра тяжести площади кругового сектора составляет примерно \(4,39\) м.