Решение: Контрольная работа. Подобие фигур. 1 вариант

Контрольная работа. Подобие фигур. 1 вариант. № 1. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) \(\angle A = 27^\circ\), \(AB = 3\) м, \(BC = 4\) м, \(B_1C_1 = 20\) м. Найти: \(\angle A_1\), \(A_1B_1\). Решение: 1) Так как треугольники подобны, их соответствующие углы равны. Следовательно: \(\angle A_1 = \angle A = 27^\circ\). 2) У подобных треугольников стороны пропорциональны: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}\] Подставим известные значения: \[\frac{3}{A_1B_1} = \frac{4}{20}\] \[A_1B_1 = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15 \text{ (м)}\] Ответ: \(\angle A_1 = 27^\circ\), \(A_1B_1 = 15\) м. № 2. Дано: \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\) \(AB = 20\) см, \(BC = 3\) см, \(A_1B_1 = 4\) см, \(A_1C_1 = 10\) см. Найти: \(AC\), \(B_1C_1\). Решение: 1) Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны по двум углам (первый признак подобия). 2) Составим отношение сторон: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\] 3) Найдем коэффициент подобия \(k\): \[k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{20}{4} = 5\] 4) Найдем \(B_1C_1\): \[B_1C_1 = \frac{BC}{k} = \frac{3}{5} = 0,6 \text{ (см)}\] 5) Найдем \(AC\): \[AC = k \cdot A_1C_1 = 5 \cdot 10 = 50 \text{ (см)}\] Ответ: \(AC = 50\) см, \(B_1C_1 = 0,6\) см. № 3. Дано: \(L_{тени\_трубы} = 80\) м \(H_{столба} = 7\) м \(L_{тени\_столба} = 4\) м Найти: \(H_{трубы}\). Решение: В один и тот же момент времени солнечные лучи падают под одинаковым углом, поэтому прямоугольные треугольники, образованные объектами и их тенями, подобны. \[\frac{H_{трубы}}{H_{столба}} = \frac{L_{тени\_трубы}}{L_{тени\_столба}}\] \[H_{трубы} = \frac{H_{столба} \cdot L_{тени\_трубы}}{L_{тени\_столба}}\] \[H_{трубы} = \frac{7 \cdot 80}{4} = 7 \cdot 20 = 140 \text{ (м)}\] Ответ: высота трубы 140 м. № 4. Дано: Трапеция \(ABCD\), \(AD \parallel BC\). \(AD = 12\) дм, \(BC = 4\) дм, \(DE = 9\) дм, \(EC = 2\) дм. Найти: \(BD\), \(AC\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle AED\) и \(\triangle CEB\). Они подобны по двум углам (\(\angle AED = \angle CEB\) как вертикальные, \(\angle EAD = \angle ECB\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\)). 2) Из подобия следует: \[\frac{AD}{BC} = \frac{DE}{BE} = \frac{AE}{EC}\] \[\frac{12}{4} = 3\] 3) Найдем \(BE\): \[\frac{DE}{BE} = 3 \Rightarrow BE = \frac{DE}{3} = \frac{9}{3} = 3 \text{ (дм)}\] 4) Найдем \(AE\): \[\frac{AE}{EC} = 3 \Rightarrow AE = 3 \cdot EC = 3 \cdot 2 = 6 \text{ (дм)}\] 5) Длины диагоналей: \(BD = DE + BE = 9 + 3 = 12\) (дм) \(AC = AE + EC = 6 + 2 = 8\) (дм) Ответ: \(BD = 12\) дм, \(AC = 8\) дм. № 5. Дано: \(\angle B = \angle B_1\) \(AB = 4 \cdot A_1B_1\), \(BC = 4 \cdot B_1C_1\) \(AC = 30\) м. Найти: \(A_1C_1\). Решение: 1) Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны по второму признаку (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), так как \(\angle B = \angle B_1\) и \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 4\). 2) Коэффициент подобия \(k = 4\). 3) В подобных треугольниках: \[\frac{AC}{A_1C_1} = k\] \[A_1C_1 = \frac{AC}{k} = \frac{30}{4} = 7,5 \text{ (м)}\] Ответ: \(A_1C_1 = 7,5\) м.