Решение задачи: колебательный контур, индуктивность и емкость

Ниже представлено решение задач, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №1 Дано: \(R = 5 \cdot 10^3 \, \text{Ом}\) \(L = 27 \, \text{мкГн} = 27 \cdot 10^{-6} \, \text{Гн}\) \(\nu = 40 \, \text{МГц} = 40 \cdot 10^6 \, \text{Гц}\) Найти: \(C\) — ? \(\beta\) — ? Решение: 1. Частота колебаний в контуре связана с индуктивностью и емкостью формулой Томсона: \[ \nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] Возведем обе части в квадрат: \[ \nu^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC} \] Отсюда выразим емкость \(C\): \[ C = \frac{1}{4\pi^2 \nu^2 L} \] Подставим значения: \[ C = \frac{1}{4 \cdot 3,14^2 \cdot (40 \cdot 10^6)^2 \cdot 27 \cdot 10^{-6}} \approx 5,86 \cdot 10^{-13} \, \text{Ф} \approx 0,586 \, \text{пФ} \] 2. Коэффициент затухания \(\beta\) для колебательного контура определяется формулой: \[ \beta = \frac{R}{2L} \] Подставим значения: \[ \beta = \frac{5 \cdot 10^3}{2 \cdot 27 \cdot 10^{-6}} = \frac{5 \cdot 10^3}{54 \cdot 10^{-6}} \approx 9,26 \cdot 10^7 \, \text{с}^{-1} \] Ответ: \(C \approx 0,586 \, \text{пФ}\); \(\beta \approx 9,26 \cdot 10^7 \, \text{с}^{-1}\). --- Задача №2 Дано: \(t = 36^\circ\text{C}\) \(\alpha = 0,9\) \(\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)\) (постоянная Стефана-Больцмана) Найти: \(R_e\) — ? Решение: 1. Переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины: \[ T = t + 273 = 36 + 273 = 309 \, \text{К} \] 2. Согласно закону Стефана-Больцмана для серого тела, энергетическая светимость (мощность излучения с единицы площади) рассчитывается по формуле: \[ R_e = \alpha \cdot \sigma \cdot T^4 \] Где \(\alpha\) — коэффициент поглощения (степень черноты). 3. Подставим числовые значения: \[ R_e = 0,9 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot (309)^4 \] Вычислим \(309^4\): \[ 309^4 \approx 9,116 \cdot 10^9 \] Теперь найдем \(R_e\): \[ R_e = 0,9 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 9,116 \cdot 10^9 \approx 465,2 \, \text{Вт}/\text{м}^2 \] Ответ: \(R_e \approx 465,2 \, \text{Вт}/\text{м}^2\).