Задача: Определить координату \(y_c\) центра тяжести однородного изогнутого листа, состоящего из двух треугольников и прямоугольника, если даны размеры \(a = 0,6\) м, \(b = 8,1\) м, \(c = 0,5\) м.
Решение:
Для определения координат центра тяжести сложной фигуры, состоящей из нескольких простых фигур, мы используем формулы:
\[x_c = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i}\] \[y_c = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i}\] \[z_c = \frac{\sum z_i A_i}{\sum A_i}\]где \(x_i, y_i, z_i\) — координаты центра тяжести \(i\)-й части, а \(A_i\) — площадь \(i\)-й части.
Разделим нашу фигуру на три части:
- Прямоугольник (нижняя часть, лежащая в плоскости \(xy\)).
- Треугольник 1 (верхняя часть, лежащая в плоскости, параллельной \(xy\)).
- Треугольник 2 (вертикальная часть, лежащая в плоскости \(xz\)).
1. Прямоугольник (нижняя часть)
Размеры: длина \(b\), ширина \(a\).
Площадь \(A_1 = a \cdot b\).
Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре.
Координаты центра тяжести \(C_1\):
\[x_1 = \frac{a}{2}\] \[y_1 = \frac{b}{2}\] \[z_1 = 0\]Подставим значения:
\[A_1 = 0,6 \text{ м} \cdot 8,1 \text{ м} = 4,86 \text{ м}^2\] \[x_1 = \frac{0,6 \text{ м}}{2} = 0,3 \text{ м}\] \[y_1 = \frac{8,1 \text{ м}}{2} = 4,05 \text{ м}\] \[z_1 = 0 \text{ м}\]2. Треугольник 1 (верхняя часть)
Этот треугольник расположен в плоскости, параллельной плоскости \(xy\), на высоте \(c\).
Основание треугольника: \(b\).
Высота треугольника: \(a\).
Площадь \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a\).
Центр тяжести треугольника находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) от основания по высоте.
Координаты центра тяжести \(C_2\):
По оси \(x\): от начала координат до вершины треугольника расстояние \(a\), центр тяжести от вершины на расстоянии \(\frac{2}{3}a\), или от основания на расстоянии \(\frac{1}{3}a\). В данном случае, если смотреть на рисунок, вершина треугольника находится на оси \(x\), а основание параллельно оси \(x\). Значит, координата \(x_2\) будет \(\frac{1}{3}a\).
По оси \(y\): центр тяжести находится посередине основания, то есть \(\frac{b}{2}\).
По оси \(z\): треугольник находится на высоте \(c\).
\[x_2 = \frac{1}{3}a\] \[y_2 = \frac{b}{2}\] \[z_2 = c\]Подставим значения:
\[A_2 = \frac{1}{2} \cdot 8,1 \text{ м} \cdot 0,6 \text{ м} = 2,43 \text{ м}^2\] \[x_2 = \frac{1}{3} \cdot 0,6 \text{ м} = 0,2 \text{ м}\] \[y_2 = \frac{8,1 \text{ м}}{2} = 4,05 \text{ м}\] \[z_2 = 0,5 \text{ м}\]3. Треугольник 2 (вертикальная часть)
Этот треугольник расположен в плоскости \(xz\).
Основание треугольника: \(c\).
Высота треугольника: \(a\).
Площадь \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot a\).
Координаты центра тяжести \(C_3\):
По оси \(x\): от начала координат до вершины треугольника расстояние \(a\), центр тяжести от вершины на расстоянии \(\frac{2}{3}a\), или от основания на расстоянии \(\frac{1}{3}a\). В данном случае, основание треугольника лежит на оси \(x\), а вершина находится на расстоянии \(a\) от оси \(x\). Значит, координата \(x_3\) будет \(\frac{2}{3}a\).
По оси \(y\): треугольник находится в плоскости \(xz\), то есть \(y=0\).
По оси \(z\): от начала координат до вершины треугольника расстояние \(c\), центр тяжести от вершины на расстоянии \(\frac{2}{3}c\), или от основания на расстоянии \(\frac{1}{3}c\). В данном случае, основание треугольника лежит на оси \(z\), а вершина находится на расстоянии \(c\) от оси \(z\). Значит, координата \(z_3\) будет \(\frac{1}{3}c\).
\[x_3 = \frac{2}{3}a\] \[y_3 = 0\] \[z_3 = \frac{1}{3}c\]Подставим значения:
\[A_3 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ м} \cdot 0,6 \text{ м} = 0,15 \text{ м}^2\] \[x_3 = \frac{2}{3} \cdot 0,6 \text{ м} = 0,4 \text{ м}\] \[y_3 = 0 \text{ м}\] \[z_3 = \frac{1}{3} \cdot 0,5 \text{ м} = \frac{0,5}{3} \text{ м} \approx 0,1667 \text{ м}\]Расчет общей площади:
\[A_{общ} = A_1 + A_2 + A_3 = 4,86 \text{ м}^2 + 2,43 \text{ м}^2 + 0,15 \text{ м}^2 = 7,44 \text{ м}^2\]Расчет координаты \(y_c\):
\[y_c = \frac{y_1 A_1 + y_2 A_2 + y_3 A_3}{A_{общ}}\] \[y_c = \frac{(4,05 \text{ м} \cdot 4,86 \text{ м}^2) + (4,05 \text{ м} \cdot 2,43 \text{ м}^2) + (0 \text{ м} \cdot 0,15 \text{ м}^2)}{7,44 \text{ м}^2}\] \[y_c = \frac{19,683 \text{ м}^3 + 9,8415 \text{ м}^3 + 0 \text{ м}^3}{7,44 \text{ м}^2}\] \[y_c = \frac{29,5245 \text{ м}^3}{7,44 \text{ м}^2}\] \[y_c \approx 3,96834677 \text{ м}\]Округлим до двух знаков после запятой, как это часто принято в инженерных расчетах, если не указана другая точность.
\[y_c \approx 3,97 \text{ м}\]Ответ:
Координата \(y_c\) центра тяжести изогнутого листа составляет примерно \(3,97\) м.