Решение задач по теории вероятностей: Практическая работа №1, Вариант 1

Практическая работа №1. Вариант 1. Задача 1. Дано: Всего вопросов: \( n = 40 \) Не выучил: 6 вопросов. Найти: Вероятность того, что попадется выученный вопрос. Решение: 1) Найдем количество выученных вопросов: \[ m = 40 - 6 = 34 \] 2) Вероятность события \( P \) равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P = \frac{m}{n} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20} = 0,85 \] Ответ: 0,85. Задача 2. Дано: Числа от 58 до 82. Найти: Вероятность того, что выбранное число делится на 6. Решение: 1) Найдем общее количество чисел в диапазоне: \[ n = 82 - 58 + 1 = 25 \] 2) Выпишем числа, делящиеся на 6 в этом промежутке: 60, 66, 72, 78. Количество таких чисел \( m = 4 \). 3) Вероятность: \[ P = \frac{m}{n} = \frac{4}{25} = 0,16 \] Ответ: 0,16. Задача 3. Дано: Всего насосов: \( n = 1400 \) Подтекают: 7 насосов. Найти: Вероятность того, что насос не подтекает. Решение: 1) Найдем количество исправных насосов: \[ m = 1400 - 7 = 1393 \] 2) Вероятность: \[ P = \frac{1393}{1400} = 0,995 \] Ответ: 0,995. Задача 4. Дано: Исправных: 2982 Неисправных: 18 Найти: Вероятность того, что насос неисправен. Решение: 1) Найдем общее количество насосов: \[ n = 2982 + 18 = 3000 \] 2) Количество неисправных \( m = 18 \). 3) Вероятность: \[ P = \frac{18}{3000} = \frac{6}{1000} = 0,006 \] Ответ: 0,006. Задача 5. Дано: Всего участников: \( n = 400 \) В 1-й и 2-й аудиториях: по 120 человек. Найти: Вероятность того, что участник в запасной аудитории. Решение: 1) Найдем количество человек в запасной аудитории: \[ m = 400 - (120 + 120) = 400 - 240 = 160 \] 2) Вероятность: \[ P = \frac{160}{400} = \frac{16}{40} = \frac{4}{10} = 0,4 \] Ответ: 0,4. Задача 6. Дано: Всего туристов: 32 Вместимость рейса: 4 Найти: Вероятность того, что турист К. полетит 5-м рейсом. Решение: Так как порядок перевозки случаен, вероятность попасть в любую из групп (на любой рейс) одинакова. На 5-й рейс выделено 4 места из 32. \[ P = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0,125 \] Ответ: 0,125. Задача 7. Дано: Вероятность \( P = 0,045 \) Продано: \( n = 1000 \) В ремонте: \( m = 51 \) Найти: Разницу между частотой и вероятностью. Решение: 1) Найдем относительную частоту события: \[ W = \frac{m}{n} = \frac{51}{1000} = 0,051 \] 2) Найдем разницу: \[ |W - P| = |0,051 - 0,045| = 0,006 \] Ответ: на 0,006. Задача 8. Дано: Всего мест: 9 Девочек: 2, Мальчиков: 7. Найти: Вероятность того, что девочки сидят рядом. Решение: Пусть одна девочка уже заняла любое место. Тогда для второй девочки остается 8 свободных мест (\( n = 8 \)). Чтобы они сидели рядом, вторая девочка должна сесть либо слева, либо справа от первой (\( m = 2 \)). \[ P = \frac{2}{8} = 0,25 \] Ответ: 0,25. Задача 9. Дано монет: 7 по 1 руб. 5 по 2 руб. 6 по 5 руб. 2 по 10 руб. Найти: Вероятность того, что после извлечения одной монеты останется менее 60 руб. Решение: 1) Общая сумма в копилке: \[ S = 7 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 5 + 2 \cdot 10 = 7 + 10 + 30 + 20 = 67 \text{ руб.} \] 2) Чтобы осталось менее 60 руб., нужно вытащить монету достоинством более \( 67 - 60 = 7 \) руб. Этому условию удовлетворяют только монеты по 10 руб. 3) Общее количество монет: \( n = 7 + 5 + 6 + 2 = 20 \). 4) Количество монет по 10 руб.: \( m = 2 \). 5) Вероятность: \[ P = \frac{2}{20} = 0,1 \] Ответ: 0,1. Задача 10. Дано: 2 игральные кости. Найти: Вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Решение: 1) Общее число исходов при броске двух костей: \[ n = 6 \cdot 6 = 36 \] 2) Благоприятные исходы (сумма 5): (1;4), (2;3), (3;2), (4;1). Количество исходов \( m = 4 \). 3) Вероятность: \[ P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0,111... \] Округляем до сотых: 0,11. Ответ: 0,11.