Уравнение окружности по координатам концов диаметра

Задача №3 Дано: \( A(-2; 4) \), \( B(-2; -2) \) — концы диаметра окружности. Найти: уравнение окружности. Решение: 1. Общий вид уравнения окружности: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \] где \( (x_0; y_0) \) — координаты центра окружности, а \( R \) — её радиус. 2. Центр окружности (точка \( O \)) является серединой диаметра \( AB \). Найдем его координаты по формулам середины отрезка: \[ x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + (-2)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Таким образом, центр окружности имеет координаты \( O(-2; 1) \). 3. Найдем длину диаметра \( AB \) по формуле расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] \[ d = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 \] 4. Найдем радиус \( R \): \[ R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Следовательно, \( R^2 = 3^2 = 9 \). 5. Подставим найденные значения \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 1 \) и \( R^2 = 9 \) в общее уравнение окружности: \[ (x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 9 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 \] Ответ: \( (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 \).