Решение задачи: Уравнение прямой через центр описанной окружности

Задача №4 Дано: \( A(-3; 0), B(-3; 2), C(1; 0) \) — вершины треугольника. Найти: уравнение прямой, проходящей через центр описанной окружности и вершину прямого угла. Решение: 1. Определим вид треугольника \( ABC \). Заметим, что сторона \( AB \) лежит на вертикальной прямой \( x = -3 \), а сторона \( AC \) лежит на горизонтальной прямой \( y = 0 \) (ось \( Ox \)). Так как вертикальная и горизонтальная прямые перпендикулярны, то угол \( A \) — прямой (\( 90^\circ \)). Следовательно, треугольник \( ABC \) — прямоугольный с вершиной прямого угла в точке \( A(-3; 0) \). 2. Найдем центр описанной окружности. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности (точка \( O \)) находится на середине гипотенузы. Гипотенузой является сторона \( BC \), так как она лежит против прямого угла \( A \). Координаты точки \( O \) (середины \( BC \)): \[ x_O = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ y_O = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Центр описанной окружности — точка \( O(-1; 1) \). 3. Составим уравнение прямой, проходящей через точки \( A(-3; 0) \) и \( O(-1; 1) \). Используем формулу прямой, проходящей через две точки: \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \] Подставим координаты точек \( A \) и \( O \): \[ \frac{x - (-3)}{-1 - (-3)} = \frac{y - 0}{1 - 0} \] \[ \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{1} \] 4. Преобразуем уравнение к виду \( y = kx + b \): \[ y = \frac{1}{2}(x + 3) \] \[ y = 0,5x + 1,5 \] Или в общем виде: \[ x - 2y + 3 = 0 \] Ответ: \( y = 0,5x + 1,5 \) (или \( x - 2y + 3 = 0 \)).