Решение задачи о шарах: Вариант 2

Вариант 2 Задача 1 Условие: В урне 3 белых и 6 красных шаров. Извлекаются два шара без возвращения. Найти вероятность событий. Решение: Всего шаров в урне: \(3 + 6 = 9\). а) Событие А: Первый шар красный, а второй белый. Вероятность того, что первый шар красный: \[P(K_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\] После того как вытащили один красный шар, в урне осталось 8 шаров (3 белых и 5 красных). Вероятность того, что второй шар белый при условии, что первый был красным: \[P(B_2 | K_1) = \frac{3}{8}\] Искомая вероятность: \[P(A) = P(K_1) \cdot P(B_2 | K_1) = \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4} = 0,25\] б) Событие Б: Оба шара белые. Вероятность того, что первый шар белый: \[P(B_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\] После этого в урне осталось 8 шаров (2 белых и 6 красных). Вероятность того, что второй шар белый: \[P(B_2 | B_1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\] Искомая вероятность: \[P(Б) = P(B_1) \cdot P(B_2 | B_1) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12} \approx 0,083\] Ответ: а) 0,25; б) 1/12. Задача 2 Условие: 5% пациентов больны гепатитом. Тест дает положительный результат у больных с вероятностью 0,9, у здоровых — 0,01. Найти вероятность положительного результата. Решение: Пусть событие \(H_1\) — пациент болен, \(H_2\) — пациент здоров. По условию: \[P(H_1) = 5\% = 0,05\] \[P(H_2) = 100\% - 5\% = 95\% = 0,95\] Пусть событие \(A\) — результат анализа положительный. Условные вероятности: \[P(A | H_1) = 0,9\] \[P(A | H_2) = 0,01\] Используем формулу полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A | H_1) + P(H_2) \cdot P(A | H_2)\] Подставим значения: \[P(A) = 0,05 \cdot 0,9 + 0,95 \cdot 0,01\] \[P(A) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545\] Ответ: 0,0545.