Задача:
Тележка с песком общей массой \(m_1 = 10\) кг движется без трения по горизонтальной поверхности со скоростью \(v_1 = 2\) м/с. Вслед за тележкой летит шар массой \(m_2 = 2\) кг. Шар попадает в песок и застревает в нём. Проекция скорости шара на горизонтальное направление в момент касания равна \(v_{2x} = 8\) м/с. С какой скоростью \(v\) будет двигаться тележка? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.
Решение:
1. Запишем данные задачи:
- Масса тележки с песком: \(m_1 = 10\) кг
- Начальная скорость тележки: \(v_1 = 2\) м/с
- Масса шара: \(m_2 = 2\) кг
- Горизонтальная проекция скорости шара: \(v_{2x} = 8\) м/с
- Конечная скорость тележки с застрявшим шаром: \(v\) (нужно найти)
2. Определим систему и применим закон сохранения импульса:
Система "тележка + шар" является замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) действуют вертикально и компенсируют друг друга, а трение отсутствует. При столкновении шара с песком происходит абсолютно неупругое взаимодействие, после которого тележка и шар движутся как единое целое.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось (например, ось X, направленную по движению тележки):
\[P_{до} = P_{после}\]
где \(P_{до}\) - суммарный импульс системы до столкновения, а \(P_{после}\) - суммарный импульс системы после столкновения.
3. Вычислим импульс до столкновения:
Импульс тележки: \(p_1 = m_1 v_1 = 10 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
Импульс шара (горизонтальная составляющая): \(p_{2x} = m_2 v_{2x} = 2 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с} = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
Суммарный импульс до столкновения: \(P_{до} = p_1 + p_{2x} = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 36 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
4. Вычислим импульс после столкновения:
После того как шар застревает в песке, общая масса системы становится \(M = m_1 + m_2\).
\[M = 10 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 12 \text{ кг}\]
Система движется с некоторой конечной скоростью \(v\).
Суммарный импульс после столкновения: \(P_{после} = M \cdot v = (m_1 + m_2) \cdot v = 12 \text{ кг} \cdot v\)
5. Приравняем импульсы и найдем \(v\):
\[P_{до} = P_{после}\]
\[36 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 12 \text{ кг} \cdot v\]
\[v = \frac{36 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{12 \text{ кг}}\]
\[v = 3 \text{ м/с}\]
6. Округлим ответ до целых:
Скорость \(v = 3\) м/с уже является целым числом.
Ответ:
3