Определим координату \(y_c\) центра тяжести однородного изогнутого листа, состоящего из двух треугольников и прямоугольника.
Даны размеры: \(a = 0,6\) м, \(b = 8,1\) м, \(c = 0,5\) м.
Разобьем изогнутый лист на три простые фигуры:
1. Прямоугольник (нижняя часть).
2. Верхний треугольник.
3. Нижний треугольник (вертикальная часть).
Обозначим их как Фигура 1, Фигура 2 и Фигура 3 соответственно.
1. Характеристики Фигуры 1 (Прямоугольник)
Это прямоугольник, расположенный в плоскости \(xy\).
Его размеры: длина \(b\), ширина \(c\).
Площадь Фигуры 1:
\(A_1 = b \cdot c = 8,1 \text{ м} \cdot 0,5 \text{ м} = 4,05 \text{ м}^2\)
Координаты центра тяжести прямоугольника:
\(x_{c1} = \frac{b}{2} = \frac{8,1}{2} = 4,05 \text{ м}\)
\(y_{c1} = \frac{c}{2} = \frac{0,5}{2} = 0,25 \text{ м}\)
\(z_{c1} = 0\) (так как лежит в плоскости \(xy\))
2. Характеристики Фигуры 2 (Верхний треугольник)
Это треугольник, расположенный в плоскости, параллельной плоскости \(xz\), но смещенный по оси \(y\).
Основание треугольника: \(b\).
Высота треугольника: \(a\).
Площадь Фигуры 2:
\(A_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 8,1 \text{ м} \cdot 0,6 \text{ м} = 2,43 \text{ м}^2\)
Координаты центра тяжести треугольника:
Для треугольника с основанием по оси \(x\) и вершиной в точке \((x_v, z_v)\), центр тяжести по \(x\) находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) от основания, если считать от вершины, или \(\frac{2}{3}\) от вершины, если считать от основания.
В данном случае, основание треугольника лежит на линии \(y=c\), а вершина находится на расстоянии \(a\) от этой линии по оси \(z\).
По оси \(x\): \(x_{c2} = \frac{b}{2} = \frac{8,1}{2} = 4,05 \text{ м}\)
По оси \(y\): Этот треугольник расположен в плоскости \(y=c\). Поэтому \(y_{c2} = c = 0,5 \text{ м}\).
По оси \(z\): Центр тяжести треугольника находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) высоты от основания. Основание треугольника находится на уровне \(z=0\).
\(z_{c2} = \frac{a}{3} = \frac{0,6}{3} = 0,2 \text{ м}\)
3. Характеристики Фигуры 3 (Нижний треугольник)
Это треугольник, расположенный в плоскости \(yz\).
Основание треугольника: \(c\).
Высота треугольника: \(b\).
Площадь Фигуры 3:
\(A_3 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ м} \cdot 8,1 \text{ м} = 2,025 \text{ м}^2\)
Координаты центра тяжести треугольника:
По оси \(x\): Этот треугольник расположен в плоскости \(x=0\). Поэтому \(x_{c3} = 0\).
По оси \(y\): Основание треугольника лежит на оси \(y\). Высота треугольника направлена вдоль оси \(y\). Центр тяжести находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) высоты от основания.
\(y_{c3} = \frac{b}{3} = \frac{8,1}{3} = 2,7 \text{ м}\)
По оси \(z\): Основание треугольника лежит на оси \(z\). Высота треугольника направлена вдоль оси \(z\). Центр тяжести находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) высоты от основания.
\(z_{c3} = \frac{c}{3} = \frac{0,5}{3} = 0,1666... \text{ м}\)
4. Определение общей координаты \(y_c\) центра тяжести
Общая координата \(y_c\) центра тяжести системы определяется по формуле:
\[y_c = \frac{A_1 y_{c1} + A_2 y_{c2} + A_3 y_{c3}}{A_1 + A_2 + A_3}\]
Подставим значения:
\(A_1 = 4,05 \text{ м}^2\), \(y_{c1} = 0,25 \text{ м}\)
\(A_2 = 2,43 \text{ м}^2\), \(y_{c2} = 0,5 \text{ м}\)
\(A_3 = 2,025 \text{ м}^2\), \(y_{c3} = 2,7 \text{ м}\)
Числитель:
\(A_1 y_{c1} = 4,05 \cdot 0,25 = 1,0125\)
\(A_2 y_{c2} = 2,43 \cdot 0,5 = 1,215\)
\(A_3 y_{c3} = 2,025 \cdot 2,7 = 5,4675\)
Сумма в числителе:
\(1,0125 + 1,215 + 5,4675 = 7,695\)
Сумма площадей в знаменателе:
\(A_1 + A_2 + A_3 = 4,05 + 2,43 + 2,025 = 8,505\)
Теперь вычислим \(y_c\):
\[y_c = \frac{7,695}{8,505} \approx 0,9047619...\]
Округлим до трех знаков после запятой:
\(y_c \approx 0,905 \text{ м}\)
Ответ:
Координата \(y_c\) центра тяжести однородного изогнутого листа составляет примерно \(0,905\) м.
