Решение тригонометрического уравнения: 2cos(x)(1 - √2cos(x)) + 2sin(x) + √2sin(2x) = -2√2

Решение тригонометрического уравнения: \[ 2\cos x \cdot (1 - \sqrt{2}\cos x) + 2\sin x + \sqrt{2}\sin 2x = -2\sqrt{2} \] 1. Раскроем скобки в левой части уравнения: \[ 2\cos x - 2\sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x + \sqrt{2}\sin 2x = -2\sqrt{2} \] 2. Используем формулу синуса двойного угла \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \): \[ 2\cos x - 2\sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x + \sqrt{2} \cdot 2\sin x \cos x = -2\sqrt{2} \] \[ 2\cos x - 2\sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x + 2\sqrt{2}\sin x \cos x + 2\sqrt{2} = 0 \] 3. Сгруппируем слагаемые для вынесения общего множителя: \[ (2\cos x + 2\sin x) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\cos^2 x + 2\sqrt{2}\sin x \cos x) = 0 \] Вынесем \( 2 \) из первой скобки и \( 2\sqrt{2} \) из второй: \[ 2(\cos x + \sin x) + 2\sqrt{2}(1 - \cos^2 x + \sin x \cos x) = 0 \] 4. Вспомним основное тригонометрическое тождество \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \): \[ 2(\cos x + \sin x) + 2\sqrt{2}(\sin^2 x + \sin x \cos x) = 0 \] 5. Вынесем \( \sin x \) из второй скобки: \[ 2(\cos x + \sin x) + 2\sqrt{2}\sin x (\sin x + \cos x) = 0 \] 6. Теперь вынесем общий множитель \( 2(\sin x + \cos x) \): \[ 2(\sin x + \cos x)(1 + \sqrt{2}\sin x) = 0 \] 7. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: а) \( \sin x + \cos x = 0 \) Разделим на \( \cos x \) (так как если \( \cos x = 0 \), то и \( \sin x = 0 \), что невозможно): \[ \text{tg } x = -1 \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] б) \( 1 + \sqrt{2}\sin x = 0 \) \[ \sqrt{2}\sin x = -1 \] \[ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Что можно записать как две серии: \[ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] 8. Объединяя все полученные решения, замечаем, что серия \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \) уже включает в себя точки \( -\frac{\pi}{4} \) и \( \frac{3\pi}{4} \). Точка \( -\frac{3\pi}{4} \) из второй серии также совпадает с точками первой серии при определенных \( k \). Ответ: \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]