Расчет вала на кручение: Решение задачи

Расчёт вала на кручение. Проектный расчёт вала. Ниже представлено решение задачи согласно вашему варианту (строка 1 в таблице). Данные варианта №1: Внешние моменты: \( T_1 = 2 \, \text{кНм} \), \( T_2 = 0 \, \text{кНм} \), \( T_3 = 3 \, \text{кНм} \), \( T_4 = -4 \, \text{кНм} \). Длины участков: \( L_1 = 4 \, \text{м} \), \( L_2 = 2 \, \text{м} \), \( L_3 = 2 \, \text{м} \), \( L_4 = 3 \, \text{м} \). Допускаемое напряжение: \( [\tau] = 30 \, \text{МПа} \). Допускаемый относительный угол закручивания: \( [\theta] = 0.5 \, \text{град/м} \). Коэффициент сечения: \( c = 0.6 \). Модуль сдвига для стали: \( G = 8 \cdot 10^4 \, \text{МПа} \). 1. Определение крутящих моментов на участках вала. Используем метод сечений, двигаясь от свободного правого конца к заделке. Согласно правилу знаков на схеме: момент положителен, если он направлен против часовой стрелки при взгляде с торца (точка в центре). Участок 1 (от \( T_1 \) до \( T_2 \)): \[ M_{z1} = T_1 = 2 \, \text{кНм} \] Участок 2 (от \( T_2 \) до \( T_3 \)): \[ M_{z2} = T_1 + T_2 = 2 + 0 = 2 \, \text{кНм} \] Участок 3 (от \( T_3 \) до \( T_4 \)): \[ M_{z3} = T_1 + T_2 + T_3 = 2 + 0 + 3 = 5 \, \text{кНм} \] Участок 4 (от \( T_4 \) до заделки): \[ M_{z4} = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 = 5 - 4 = 1 \, \text{кНм} \] Максимальный крутящий момент по модулю: \( M_{max} = 5 \, \text{кНм} = 5000 \, \text{Нм} \). 2. Определение диаметра сплошного вала \( d \). А) Из условия прочности: \[ \tau_{max} = \frac{M_{max}}{W_p} \le [\tau] \] Для сплошного круга \( W_p \approx 0.2 d^3 \). \[ d \ge \sqrt[3]{\frac{M_{max}}{0.2 \cdot [\tau]}} = \sqrt[3]{\frac{5000}{0.2 \cdot 30 \cdot 10^6}} \approx 0.0941 \, \text{м} = 94.1 \, \text{мм} \] Б) Из условия жесткости: Переведем допускаемый угол в радианы: \( [\theta] = 0.5 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.00873 \, \text{рад/м} \). \[ \theta = \frac{M_{max}}{G \cdot I_p} \le [\theta] \] Для сплошного круга \( I_p \approx 0.1 d^4 \). \[ d \ge \sqrt[4]{\frac{M_{max}}{0.1 \cdot G \cdot [\theta]}} = \sqrt[4]{\frac{5000}{0.1 \cdot 80 \cdot 10^9 \cdot 0.00873}} \approx 0.0921 \, \text{м} = 92.1 \, \text{мм} \] Выбираем большее значение и округляем по ГОСТ до ближайшего четного или кратного 5: Принимаем \( d = 95 \, \text{мм} \). 3. Определение параметров кольцевого сечения. Для кольцевого сечения \( I_p = 0.1 D_H^4 (1 - c^4) \) и \( W_p = 0.2 D_H^3 (1 - c^4) \). Коэффициент \( c = 0.6 \), тогда \( (1 - c^4) = 1 - 0.1296 = 0.8704 \). А) Из условия прочности: \[ D_H \ge \sqrt[3]{\frac{M_{max}}{0.2 \cdot 0.8704 \cdot [\tau]}} = \sqrt[3]{\frac{5000}{0.174 \cdot 30 \cdot 10^6}} \approx 0.0986 \, \text{м} = 98.6 \, \text{мм} \] Б) Из условия жесткости: \[ D_H \ge \sqrt[4]{\frac{M_{max}}{0.1 \cdot 0.8704 \cdot G \cdot [\theta]}} = \sqrt[4]{\frac{5000}{0.087 \cdot 80 \cdot 10^9 \cdot 0.00873}} \approx 0.0953 \, \text{м} = 95.3 \, \text{мм} \] Принимаем наружный диаметр \( D_H = 100 \, \text{мм} \). Внутренний диаметр: \( d_1 = c \cdot D_H = 0.6 \cdot 100 = 60 \, \text{мм} \). 4. Сравнение веса (площадей сечения). Площадь сплошного вала: \[ A_{спл} = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3.14 \cdot 95^2}{4} \approx 7085 \, \text{мм}^2 \] Площадь кольцевого вала: \[ A_{кол} = \frac{\pi (D_H^2 - d_1^2)}{4} = \frac{3.14 \cdot (100^2 - 60^2)}{4} = \frac{3.14 \cdot 6400}{4} = 5024 \, \text{мм}^2 \] Вывод: Кольцевое сечение экономичнее сплошного, так как при обеспечении той же прочности и жесткости его площадь (а значит и вес) меньше примерно на 29%. Это демонстрирует эффективность отечественных инженерных подходов в рациональном использовании материалов.