Задача №11: Расчет стержня на растяжение-сжатие

Задача №11. Расчет стержня на растяжение-сжатие. Дано: \(l_1 = l_2 = l_3 = l_4 = 0,5 \text{ м}\) \(F_1 = 5 \text{ кН} = 5 \cdot 10^3 \text{ Н}\) \(F_2 = 10 \text{ кН} = 10 \cdot 10^3 \text{ Н}\) \(A_1 = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(A_2 = 6 \text{ см}^2 = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\) Решение: Разделим стержень на участки, начиная от свободного (нижнего) конца. Направим ось \(x\) вниз. 1. Расчет продольных сил \(N\). Используем метод сечений. Растягивающая сила считается положительной, сжимающая — отрицательной. Участок 4 (от \(x=0\) до \(x=l_4\)): \[N_4 = 0 \text{ кН}\] (так как ниже сечения сил нет). Участок 3 (от \(x=l_4\) до \(x=l_4+l_3\)): \[N_3 = F_2 = 10 \text{ кН}\] Участок 2 (от \(x=l_4+l_3\) до \(x=l_4+l_3+l_2\)): \[N_2 = F_2 - F_1 = 10 - 5 = 5 \text{ кН}\] Участок 1 (от \(x=l_4+l_3+l_2\) до \(x=L\)): \[N_1 = F_2 - F_1 = 5 \text{ кН}\] 2. Расчет нормальных напряжений \(\sigma\). Напряжение вычисляется по формуле \(\sigma = \frac{N}{A}\). Участок 4: \[\sigma_4 = \frac{0}{A_2} = 0 \text{ МПа}\] Участок 3: \[\sigma_3 = \frac{10 \cdot 10^3}{6 \cdot 10^{-4}} \approx 16,67 \cdot 10^6 \text{ Па} = 16,67 \text{ МПа}\] Участок 2: \[\sigma_2 = \frac{5 \cdot 10^3}{6 \cdot 10^{-4}} \approx 8,33 \cdot 10^6 \text{ Па} = 8,33 \text{ МПа}\] Участок 1: \[\sigma_1 = \frac{5 \cdot 10^3}{3 \cdot 10^{-4}} \approx 16,67 \cdot 10^6 \text{ Па} = 16,67 \text{ МПа}\] 3. Расчет перемещений \(\Delta\). Перемещение жесткой заделки равно нулю: \(\Delta_0 = 0\). Считаем перемещения узлов сверху вниз (от заделки). Узел между 1 и 2 участком: \[\Delta_1 = \frac{N_1 \cdot l_1}{E \cdot A_1} = \frac{5000 \cdot 0,5}{2 \cdot 10^{11} \cdot 3 \cdot 10^{-4}} \approx 0,0417 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,0417 \text{ мм}\] Узел между 2 и 3 участком: \[\Delta_2 = \Delta_1 + \frac{N_2 \cdot l_2}{E \cdot A_2} = 0,0417 + \frac{5000 \cdot 0,5}{2 \cdot 10^{11} \cdot 6 \cdot 10^{-4}} \cdot 10^3 = 0,0417 + 0,0208 = 0,0625 \text{ мм}\] Узел между 3 и 4 участком: \[\Delta_3 = \Delta_2 + \frac{N_3 \cdot l_3}{E \cdot A_2} = 0,0625 + \frac{10000 \cdot 0,5}{2 \cdot 10^{11} \cdot 6 \cdot 10^{-4}} \cdot 10^3 = 0,0625 + 0,0417 = 0,1042 \text{ мм}\] Свободный конец (низ): \[\Delta_4 = \Delta_3 + \frac{N_4 \cdot l_4}{E \cdot A_2} = 0,1042 + 0 = 0,1042 \text{ мм}\] Для оформления в тетради: Начертите под схемой стержня три оси. 1. Эпюра \(N\): на 4-м участке 0, на 3-м прямоугольник вверх величиной 10, на 2-м и 1-м прямоугольник вверх величиной 5. 2. Эпюра \(\sigma\): на 4-м 0, на 3-м 16,67, на 2-м 8,33, на 1-м 16,67 (все значения положительные, откладываются вправо или вверх от оси). 3. Эпюра \(\Delta\): ломаная линия, начинающаяся от 0 в заделке и доходящая до 0,1042 мм на нижнем конце. На каждом участке изменение линейное.