Определение центра тяжести сложного сечения

Задача: Определить координаты центра тяжести сложного сечения. Для решения задачи разобьем сложное сечение на простые геометрические фигуры. Введем систему координат: ось \( y \) направим вертикально вверх по оси симметрии фигуры, а ось \( x \) — горизонтально по нижнему основанию фигуры. Так как фигура симметрична относительно вертикальной оси, координата центра тяжести по горизонтали \( x_c = 0 \) (если начало координат в центре основания). Нам нужно найти вертикальную координату \( y_c \). Разделим сечение на три части: 1. Верхний прямоугольник (полка). 2. Средняя трапециевидная часть (переход). 3. Нижняя трапеция (стенка). Однако, удобнее разделить на: 1. Прямоугольник сверху: ширина \( b_1 = 100 \) см, высота \( h_1 = 8 \) см. 2. Трапеция снизу: верхнее основание \( a = 100 \) см (условно, до сужения), нижнее \( b = 8 \) см, высота \( h_2 = 54 - 8 = 46 \) см. Но судя по чертежу, нижняя часть — это трапеция с высотой \( 54 - 8 = 46 \) см, верхним основанием \( 8 + 6 + 6 = 20 \) см и нижним основанием \( 8 \) см. Рассчитаем площади и координаты центров тяжести каждой части от нижней границы: 1. Нижняя трапеция: Высота \( H = 54 - 8 = 46 \) см. Нижнее основание \( a = 8 \) см. Верхнее основание \( b = 8 + 6 + 6 = 20 \) см. Площадь \( A_1 \): \[ A_1 = \frac{a + b}{2} \cdot H = \frac{8 + 20}{2} \cdot 46 = 14 \cdot 46 = 644 \text{ см}^2 \] Координата центра тяжести трапеции \( y_1 \): \[ y_1 = \frac{H}{3} \cdot \frac{a + 2b}{a + b} = \frac{46}{3} \cdot \frac{8 + 2 \cdot 20}{8 + 20} = \frac{46}{3} \cdot \frac{48}{28} = \frac{46 \cdot 16}{28} \approx 26.29 \text{ см} \] 2. Верхний прямоугольник: Ширина \( B = 100 \) см. Высота \( h = 8 \) см. Площадь \( A_2 \): \[ A_2 = B \cdot h = 100 \cdot 8 = 800 \text{ см}^2 \] Координата центра тяжести \( y_2 \) (от низа всей фигуры): \[ y_2 = 46 + \frac{8}{2} = 50 \text{ см} \] Вычисляем общую координату \( y_c \): \[ y_c = \frac{A_1 \cdot y_1 + A_2 \cdot y_2}{A_1 + A_2} \] \[ y_c = \frac{644 \cdot 26.29 + 800 \cdot 50}{644 + 800} \] \[ y_c = \frac{16930.76 + 40000}{1444} \] \[ y_c = \frac{56930.76}{1444} \approx 39.43 \text{ см} \] Ответ: Координаты центра тяжести сечения \( x_c = 0 \), \( y_c \approx 39.43 \) см (отсчет от нижней грани).