Решение задачи №3: Наклонные к плоскости

Ниже представлено решение задачи №3 из вашего варианта, оформленное для записи в тетрадь. Задача №3 Дано: Из точки к плоскости проведены две наклонные. Длины наклонных: \(l_1 = 23\) см, \(l_2 = 33\) см. Проекции наклонных относятся как \(2 : 3\). Найти: расстояние от точки до плоскости (\(h\)). Решение: Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — проекции наклонных на плоскость. По условию задачи их отношение: \[\frac{x_1}{x_2} = \frac{2}{3}\] Следовательно, мы можем выразить проекции через коэффициент пропорциональности \(k\): \(x_1 = 2k\), \(x_2 = 3k\). Расстояние от точки до плоскости — это перпендикуляр \(h\). Наклонная, её проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора для каждой наклонной запишем: 1) \(h^2 = l_1^2 - x_1^2\) 2) \(h^2 = l_2^2 - x_2^2\) Приравняем правые части уравнений: \[l_1^2 - x_1^2 = l_2^2 - x_2^2\] Подставим известные значения: \[23^2 - (2k)^2 = 33^2 - (3k)^2\] \[529 - 4k^2 = 1089 - 9k^2\] Перенесем слагаемые с \(k\) в одну сторону, а числа в другую: \[9k^2 - 4k^2 = 1089 - 529\] \[5k^2 = 560\] \[k^2 = \frac{560}{5}\] \[k^2 = 112\] Теперь найдем квадрат расстояния \(h^2\), используя первую формулу: \[h^2 = 23^2 - (2k)^2\] \[h^2 = 529 - 4k^2\] \[h^2 = 529 - 4 \cdot 112\] \[h^2 = 529 - 448\] \[h^2 = 81\] Находим \(h\): \[h = \sqrt{81} = 9 \text{ (см)}\] Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 9 см.