Решение задачи по алгебре: График, Упрощение, Многочлены

Задание 1. Постройте график функции \( y = 2x + 1 \). Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу: Если \( x = 0 \), то \( y = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \). Точка (0; 1). Если \( x = 1 \), то \( y = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \). Точка (1; 3). Проводим прямую через эти точки. По графику определим значение функции при \( x = 0,5 \): \[ y = 2 \cdot 0,5 + 1 = 1 + 1 = 2 \] Ответ: при \( x = 0,5 \), \( y = 2 \). Задание 3. Упростите выражение: а) \( -2x^3y^3 \cdot 5x^2y = (-2 \cdot 5) \cdot x^{3+2} \cdot y^{3+1} = -10x^5y^4 \) б) \( (5x^3y^5)^3 = 5^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^5)^3 = 125x^9y^{15} \) Задание 4. Преобразуйте в многочлен: а) \( (1 + 2x)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2x + (2x)^2 = 1 + 4x + 4x^2 \) б) \( (3a - b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2 \) в) \( (y + 11)(y - 11) = y^2 - 11^2 = y^2 - 121 \) Задание 5. Упростите выражение: а) \( (x - 5)^2 - (x + 2)(x - 3) = (x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 3x + 2x - 6) = x^2 - 10x + 25 - x^2 + x + 6 = -9x + 31 \) б) \( 4(a + b)^2 - 8ab = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 8ab = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 8ab = 4a^2 + 4b^2 \) Задание 6. Пусть \( x \) — количество книг на второй полке. Тогда на первой полке \( 2x \) книг. На третьей полке \( 2x - 5 \) книг. Всего на трех полках 75 книг. Составим уравнение: \[ x + 2x + (2x - 5) = 75 \] \[ 5x - 5 = 75 \] \[ 5x = 80 \] \[ x = 16 \] 1) На второй полке: 16 книг. 2) На первой полке: \( 2 \cdot 16 = 32 \) книги. 3) На третьей полке: \( 32 - 5 = 27 \) книг. Проверка: \( 16 + 32 + 27 = 75 \). Ответ: 32, 16 и 27 книг. Задание 7*. Решите уравнение: \[ x^3 - 8x - 8 = 0 \] Заметим, что уравнение можно переписать, выделив сумму кубов или сгруппировав слагаемые. Однако проще увидеть корень подбором или разложить: \[ x^3 + 8 - 8x - 16 = 0 \] — не подходит. Попробуем группировку: \[ x^3 - 8x - 8 = 0 \] Заметим, что при \( x = -2 \): \( (-2)^3 - 8(-2) - 8 = -8 + 16 - 8 = 0 \). Значит, \( (x + 2) \) является множителем. Разделим многочлен на \( (x + 2) \): \[ x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x - 4x - 8 = 0 \] \[ x^2(x + 2) - 2x(x + 2) - 4(x + 2) = 0 \] \[ (x + 2)(x^2 - 2x - 4) = 0 \] 1) \( x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2 \) 2) \( x^2 - 2x - 4 = 0 \) \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \] Ответ: \( -2; 1 + \sqrt{5}; 1 - \sqrt{5} \).