Задача:
Тележки движутся навстречу друг другу и сцепляются. Определить скорость их совместного движения. Значения масс и начальных скоростей тележек указаны на рисунке.
Дано:
- Масса первой тележки: \(m_1 = 40 \text{ кг}\)
- Скорость первой тележки: \(v_1 = 4 \text{ м/с}\)
- Масса второй тележки: \(m_2 = 60 \text{ кг}\)
- Скорость второй тележки: \(v_2 = 2 \text{ м/с}\)
Найти:
- Скорость совместного движения тележек: \(V\)
Решение:
Эта задача на закон сохранения импульса. Поскольку тележки движутся навстречу друг другу, их скорости имеют противоположные направления. Выберем положительное направление оси, совпадающее с направлением движения первой тележки.
Тогда импульс первой тележки до столкновения будет положительным, а импульс второй тележки — отрицательным.
Импульс первой тележки до столкновения: \(p_1 = m_1 \cdot v_1\)
Импульс второй тележки до столкновения: \(p_2 = -m_2 \cdot v_2\)
Полный импульс системы до столкновения: \(P_{до} = p_1 + p_2 = m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2\)
После сцепления тележки движутся как единое целое с общей массой \(M = m_1 + m_2\) и общей скоростью \(V\).
Полный импульс системы после столкновения: \(P_{после} = (m_1 + m_2) \cdot V\)
Согласно закону сохранения импульса, полный импульс системы до столкновения равен полному импульсу системы после столкновения:
\[P_{до} = P_{после}\] \[m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot V\]Выразим скорость совместного движения \(V\):
\[V = \frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}\]Подставим числовые значения:
\[V = \frac{40 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} - 60 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{40 \text{ кг} + 60 \text{ кг}}\] \[V = \frac{160 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 120 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{100 \text{ кг}}\] \[V = \frac{40 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{100 \text{ кг}}\] \[V = 0.4 \text{ м/с}\]Поскольку полученное значение скорости положительное, это означает, что после сцепления тележки будут двигаться в том же направлении, что и первая тележка до столкновения.
Ответ:
Скорость совместного движения тележек равна \(0.4 \text{ м/с}\).