Решение задач №6 и №7: полки с книгами и кубическое уравнение

Задача №6 Пусть \(x\) — количество книг на второй полке. Тогда на первой полке \(2x\) книг (так как их в два раза больше). На третьей полке \(2x - 5\) книг (так как их на 5 меньше, чем на первой). Всего на трех полках 75 книг. Составим и решим уравнение: \[x + 2x + (2x - 5) = 75\] \[5x - 5 = 75\] \[5x = 75 + 5\] \[5x = 80\] \[x = 80 : 5\] \[x = 16\] Значит, на второй полке 16 книг. На первой полке: \(2 \cdot 16 = 32\) книги. На третьей полке: \(32 - 5 = 27\) книг. Проверка: \(32 + 16 + 27 = 75\). Верно. Ответ: на первой полке 32 книги, на второй — 16 книг, на третьей — 27 книг. Задача №7* Решите уравнение: \[x^3 - 8x - 8 = 0\] Для решения воспользуемся методом группировки. Представим \(-8x\) как \(-x - 7x\), а \(-8\) как \(-1 - 7\): \[x^3 - 1 - 8x - 7 = 0\] Это не совсем удобно. Попробуем другой способ группировки: \[x^3 + 1 - 1 - 8x - 8 = 0\] \[(x^3 + 1) - (8x + 8) = 0\] Разложим первую скобку по формуле суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\), а во второй скобке вынесем общий множитель 8: \[(x + 1)(x^2 - x + 1) - 8(x + 1) = 0\] Теперь вынесем общий множитель \((x + 1)\) за скобки: \[(x + 1)(x^2 - x + 1 - 8) = 0\] \[(x + 1)(x^2 - x - 7) = 0\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(x + 1 = 0\) \[x_1 = -1\] 2) \(x^2 - x - 7 = 0\) Решим через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29\] \[x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}\] Ответ: \(x_1 = -1\); \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}\); \(x_3 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}\).