Решение школьных задач

Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1 Ответ: Правильное. Обоснование: В каждой точке пространства вектор напряженности электрического поля \( \vec{E} \) имеет только одно определенное направление. Если бы силовые линии пересекались, то в точке их пересечения вектор \( \vec{E} \) имел бы два разных направления, что физически невозможно. Задача 2 Дано: \( a = 1 \) м \( Q_1 = 3,8 \cdot 10^{-7} \) Кл \( Q_2 = -3 \cdot 10^{-7} \) Кл \( k = 9 \cdot 10^9 \) Н·м\(^2\)/Кл\(^2\) Найти: \( E \), \( \varphi \) Решение: Рассмотрим одну из свободных вершин. Расстояние от каждого заряда до этой вершины равно стороне квадрата \( a \). 1. Напряженность поля: Напряженности от каждого заряда: \[ E_1 = k \frac{|Q_1|}{a^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3,8 \cdot 10^{-7}}{1^2} = 3420 \text{ В/м} = 3,42 \text{ кВ/м} \] \[ E_2 = k \frac{|Q_2|}{a^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-7}}{1^2} = 2700 \text{ В/м} = 2,7 \text{ кВ/м} \] Так как векторы \( \vec{E_1} \) и \( \vec{E_2} \) перпендикулярны (стороны квадрата), результирующая напряженность: \[ E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{3,42^2 + 2,7^2} \approx \sqrt{11,6964 + 7,29} \approx 4,36 \text{ кВ/м} \] 2. Потенциал: \[ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = k \frac{Q_1}{a} + k \frac{Q_2}{a} = \frac{k}{a} (Q_1 + Q_2) \] \[ \varphi = \frac{9 \cdot 10^9}{1} (3,8 \cdot 10^{-7} - 3 \cdot 10^{-7}) = 9 \cdot 10^9 \cdot 0,8 \cdot 10^{-7} = 720 \text{ В} = 0,72 \text{ кВ} \] Ответ: \( E \approx 4,36 \) кВ/м; \( \varphi = 0,72 \) кВ. Задача 3 1. Точка \( r_1 = R/3 \) (внутри сферы): По теореме Гаусса, заряд на сфере не создает поля внутри нее. Поле создается только точечным зарядом \( Q \). \[ E_1 = k \frac{Q}{(R/3)^2} = \frac{9kQ}{R^2} \] Направление: от центра (так как \( Q > 0 \)). Потенциал складывается из потенциала точечного заряда и потенциала сферы: \[ \varphi_1 = k \frac{Q}{R/3} + k \frac{-6Q}{R} = \frac{3kQ}{R} - \frac{6kQ}{R} = -\frac{3kQ}{R} \] 2. Точка \( r_2 = 4R \) (снаружи сферы): Поле создается суммарным зарядом \( Q_{sum} = Q - 6Q = -5Q \). \[ E_2 = k \frac{|-5Q|}{(4R)^2} = \frac{5kQ}{16R^2} \] Направление: к центру (так как суммарный заряд отрицателен). Потенциал: \[ \varphi_2 = k \frac{-5Q}{4R} = -1,25 \frac{kQ}{R} \] Задача 4 Ответ: Больше. Обоснование: Для точечных зарядов сила \( F = k \frac{|Q_1 Q_2|}{R^2} \). В случае проводящих шаров с разноименными зарядами происходит перераспределение зарядов (индукция). Заряды притягиваются друг к другу и смещаются на внутренние поверхности шаров, обращенные друг к другу. Таким образом, эффективное расстояние между центрами масс зарядов становится меньше \( R \), что согласно закону Кулона приводит к увеличению силы взаимодействия по сравнению с точечными зарядами. Задача 5 Напряженность поля одной пластины \( E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \). В точке \( A \) (справа): \( E_A = |E_1 - E_2| = 600 \). Судя по рисунку, \( \vec{E_A} \) направлен влево. В точке \( C \) (слева): \( E_C = |E_2 - E_1| = 1000 \). Судя по рисунку, \( \vec{E_C} \) направлен вправо. Это возможно, если пластины заряжены разноименно и \( \sigma_2 \) больше по модулю. Пусть \( E_1 = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} \) и \( E_2 = \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} \). Из векторов на рисунке: В точке \( C \): \( E_2 - E_1 = 1000 \) В точке \( A \): \( E_1 - E_2 = -600 \) (или \( E_2 - E_1 = 600 \)) Заметим, что в пространстве вне пластин поле должно быть одинаковым по модулю, если пластины бесконечны. Однако, если учитывать направления: \( \sigma_1 = \varepsilon_0 (E_C - E_A) \) — это не совсем корректно для школьной задачи без учета знаков. Обычно: \( E_{total} = E_1 + E_2 \). Решим систему: \( \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} = -1000 \) \( \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} = 600 \) Данные на рисунке противоречат теории идеальных бесконечных пластин (вне их поле должно быть \( \frac{|\sigma_1 - \sigma_2|}{2\varepsilon_0} \) с обеих сторон). Вероятно, подразумевается, что точки внутри и снаружи. Если \( C \) между пластинами, а \( A \) снаружи: \( E_{между} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2\varepsilon_0} = 1000 \) \( E_{снаружи} = \frac{|\sigma_1 - \sigma_2|}{2\varepsilon_0} = 600 \) Тогда \( \sigma_1 + \sigma_2 = 2000 \varepsilon_0 \), \( \sigma_1 - \sigma_2 = 1200 \varepsilon_0 \). \( 2\sigma_1 = 3200 \varepsilon_0 \Rightarrow \sigma_1 = 1600 \varepsilon_0 \approx 1600 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \approx 14,16 \text{ нКл/м}^2 \). \( \sigma_2 = 400 \varepsilon_0 \approx 3,54 \text{ нКл/м}^2 \).