Решение задачи №12: Потенциал внутри проводника

Ниже представлены решения задач с 12 по 20, оформленные для переписывания в тетрадь. Задача 12 Решение: Точка \( A \) находится внутри полости (\( R/4 < R \)). Потенциал внутри полости проводника складывается из потенциала точечного заряда и потенциала, создаваемого самим проводящим шаром. Потенциал точечного заряда в точке \( A \): \( \varphi_q = k \frac{Q/2}{R/4} = 2 \frac{kQ}{R} \). Потенциал проводящего шара одинаков во всех его точках (включая полость) и равен потенциалу на его внешней поверхности (\( 4R \)). На внешнюю поверхность вытесняется суммарный заряд системы: \( Q_{sum} = 3Q + Q/2 = 3,5Q \). Потенциал шара: \( \varphi_{ball} = k \frac{3,5Q}{4R} = 0,875 \frac{kQ}{R} \). Однако, по принципу суперпозиции, потенциал внутри полости: \[ \varphi_A = k \frac{Q/2}{R/4} - k \frac{Q/2}{R} + k \frac{Q/2}{4R} + k \frac{3Q}{4R} \] Упростим: \( \varphi_A = 2\frac{kQ}{R} - 0,5\frac{kQ}{R} + 0,875\frac{kQ}{R} = 2,375 \frac{kQ}{R} \). Коэффициент \( B = 2,375 \). Ответ: 2,375. Задача 13 Решение: Потенциал проводника равен потенциалу на его внешней поверхности (\( 4R \)). Весь заряд системы (заряд шара \( 4Q \) и точечный заряд \( Q \)) создает поле снаружи так, будто он сосредоточен в центре. \[ \varphi = k \frac{4Q + Q}{4R} = \frac{5}{4} \frac{kQ}{R} = 1,25 \frac{kQ}{R} \] Коэффициент \( B = 1,25 \). Ответ: 1,25. Задача 14 Решение: Точка находится на расстоянии \( R/4 \). Это внутри полости (\( R/4 < R \)). В полости диэлектрика нет, там вакуум/воздух. Поле создается только точечным зарядом \( Q \). \[ E = k \frac{Q}{(R/4)^2} = 16 \frac{kQ}{R^2} \] Коэффициент \( B = 16 \). Ответ: 16. Задача 15 Решение: Точка находится на расстоянии \( 5R \). Это внутри слоя диэлектрика (\( R < 5R < 7R \)). Напряженность поля точечного заряда в диэлектрике уменьшается в \( \varepsilon \) раз. \[ E = \frac{1}{\varepsilon} k \frac{Q}{(5R)^2} = \frac{1}{2} k \frac{Q}{25R^2} = \frac{1}{50} \frac{kQ}{R^2} = 0,02 \frac{kQ}{R^2} \] Коэффициент \( B = 0,02 \). Ответ: 0,02. Задача 16 Решение: Точка находится на расстоянии \( 10R \). Это снаружи шара (\( 10R > 8R \)). Снаружи диэлектрика поле такое же, как от точечного заряда в вакууме. \[ E = k \frac{Q}{(10R)^2} = \frac{1}{100} \frac{kQ}{R^2} = 0,01 \frac{kQ}{R^2} \] Коэффициент \( B = 0,01 \). Ответ: 0,01. Задача 17 Решение: Конденсатор с пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора: один с диэлектриком толщиной \( d/6 \) и один воздушный толщиной \( 5d/6 \). \[ \frac{1}{C} = \frac{d/6}{\varepsilon \varepsilon_0 S} + \frac{5d/6}{\varepsilon_0 S} = \frac{d}{6 \varepsilon_0 S} \left( \frac{1}{\varepsilon} + 5 \right) \] Так как \( C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \): \[ \frac{1}{C} = \frac{1}{6 C_0} \left( \frac{1}{2} + 5 \right) = \frac{1}{6 C_0} \cdot 5,5 = \frac{11}{12 C_0} \] \[ C = \frac{12}{11} C_0 \approx 1,09 C_0 \] Коэффициент \( B = 1,09 \). Ответ: 1,09. Задача 18 Решение: Проводящая пластина внутри конденсатора уменьшает эффективное расстояние между обкладками на свою толщину, так как поле внутри проводника равно нулю. Новое расстояние: \( d' = d - d/6 = \frac{5}{6}d \). \[ C = \frac{\varepsilon_0 S}{d'} = \frac{\varepsilon_0 S}{5d/6} = \frac{6}{5} \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 1,2 C_0 \] Коэффициент \( B = 1,2 \). Ответ: 1,2. Задача 19 Решение: Система представляет собой два конденсатора, соединенных параллельно к источнику \( \mathcal{E} \). Пусть потенциал пластины \( \varphi \). Разности потенциалов: \( \varphi_1 - \varphi = U_1 \), \( \varphi - \varphi_2 = U_2 \). Сумма \( U_1 + U_2 = \mathcal{E} \). Заряды на обкладках пластины \( Q_1 + Q_2 = Q \). Используя метод потенциалов и закон сохранения заряда, для обкладок конденсатора: Заряд левой обкладки: \( q_1 = -\frac{\varepsilon_0 S}{d} \cdot \frac{6d \mathcal{E} + d Q / C_{total}}{7d} \) (упрощенно). Для школьного уровня: заряды обкладок \( q_{left} = - \frac{6}{7}Q - C_1 \mathcal{E} \) и \( q_{right} = - \frac{1}{7}Q + C_2 \mathcal{E} \). Точный ответ зависит от знаков, обычно: \( q_1 = -\frac{6}{7}Q - \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}}{7d} \), \( q_2 = -\frac{1}{7}Q + \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}}{7d} \). Задача 20 Решение: При последовательном соединении заряды на всех конденсаторах одинаковы: \( q_1 = q_2 = q_3 = q \). Общая емкость \( C_{общ} \): \[ \frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{8C} = \frac{8+4+1}{8C} = \frac{13}{8C} \Rightarrow C_{общ} = \frac{8C}{13} \] Общий заряд: \( q = C_{общ} \cdot \mathcal{E} = \frac{8C}{13} \cdot 13 = 8C \). Напряжение на втором конденсаторе (\( 2C \)): \[ U_2 = \frac{q}{2C} = \frac{8C}{2C} = 4 \text{ В} \] Ответ: 4 В.