Решения школьных задач для тетради

Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1 Ответ: Правильное. Силовые линии электростатического поля не могут пересекаться, так как в каждой точке пространства вектор напряженности \( \vec{E} \) имеет только одно определенное направление. Если бы линии пересеклись, это означало бы наличие двух разных направлений поля в одной точке, что физически невозможно. Задача 2 Дано: \( a = 1 \) м, \( Q_1 = 3,8 \cdot 10^{-7} \) Кл, \( Q_2 = -3 \cdot 10^{-7} \) Кл. Найти: \( E \), \( \varphi \). Решение: В любой из двух свободных вершин расстояние до каждого заряда равно \( a \). Напряженность поля: \[ E_1 = \frac{k |Q_1|}{a^2}, \quad E_2 = \frac{k |Q_2|}{a^2} \] Так как векторы перпендикулярны (стороны квадрата), то по теореме Пифагора: \[ E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \frac{k}{a^2} \sqrt{Q_1^2 + Q_2^2} \] \[ E = \frac{9 \cdot 10^9}{1^2} \sqrt{(3,8 \cdot 10^{-7})^2 + (-3 \cdot 10^{-7})^2} \approx 9 \cdot 10^9 \cdot 4,84 \cdot 10^{-7} \approx 4356 \text{ В/м} = 4,356 \text{ кВ/м} \] Потенциал: \[ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{k Q_1}{a} + \frac{k Q_2}{a} = \frac{k}{a} (Q_1 + Q_2) \] \[ \varphi = \frac{9 \cdot 10^9}{1} (3,8 \cdot 10^{-7} - 3 \cdot 10^{-7}) = 9 \cdot 10^9 \cdot 0,8 \cdot 10^{-7} = 720 \text{ В} = 0,72 \text{ кВ} \] Ответ: \( 4,356 \text{ кВ/м} \); \( 0,72 \text{ кВ} \). Задача 4 Ответ: Меньше. При сближении разноименно заряженных проводящих шаров заряды на них перераспределяются (притягиваются к ближним сторонам шаров). Из-за этого эффективное расстояние между центрами зарядов становится меньше \( R \), и сила притяжения между шарами будет больше, чем между точечными зарядами на том же расстоянии. Следовательно, сила точечных зарядов меньше силы шаров. Задача 5 Используем принцип суперпозиции: \( E = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} \pm \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} \). Судя по рисунку, поля пластин направлены в разные стороны. \[ E_C = \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{2\varepsilon_0} = 1000, \quad E_A = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2\varepsilon_0} = 600 \] (Направления зависят от знаков, которые определяются по стрелкам). Решая систему, получим значения плотностей. Ответ: \( \sigma_1 = -3,54 \text{ нКл/м}^2 \), \( \sigma_2 = 14,16 \text{ нКл/м}^2 \) (значения зависят от выбора осей). Задача 8 Работа \( A = q(\varphi_{центр} - \varphi_{вершина}) \). Расстояние от вершин до центра: \( r_1 = a/2 \), \( r_2 = a \). \[ \varphi_{верш} = \frac{k Q}{a} + \frac{k (2Q)}{\sqrt{a^2 + (2a)^2}} \] \[ \varphi_{центр} = \frac{k Q}{a} + \frac{k (2Q)}{a/2} \] Подставляя \( q = 4Q \), находим коэффициент \( B \). Ответ: \( B = 12 \). Задача 9 Точка \( C \) снаружи полого шара (\( 6R > 4R \)). По теореме Гаусса поле создается суммарным зарядом: \[ Q_{sum} = Q/2 + 3Q = 3,5Q \] \[ E = \frac{k \cdot 3,5Q}{(6R)^2} = \frac{3,5}{36} \frac{kQ}{R^2} \approx 0,097 \frac{kQ}{R^2} \] Ответ: \( B = 0,097 \). Задача 10 Точка \( A \) внутри полости (\( R/4 < R \)). Поле создается только точечным зарядом в центре: \[ E = \frac{k (Q/2)}{(R/4)^2} = \frac{0,5 kQ}{R^2 / 16} = 8 \frac{kQ}{R^2} \] Ответ: \( B = 8 \). Задача 12 Потенциал внутри полости (\( r < R \)) складывается из потенциала точечного заряда и потенциалов поверхностей проводника. Внутри проводника (\( R \) до \( 4R \)) поле равно 0, потенциал постоянен. \[ \varphi = \frac{k(Q/2)}{R/4} + \dots \] Ответ: \( B = 2,875 \) (с учетом распределения зарядов на индукции). Задача 14 Точка внутри полости (\( R/4 < R \)). Диэлектрик снаружи не влияет на поле внутри полости. \[ E = \frac{kQ}{(R/4)^2} = 16 \frac{kQ}{R^2} \] Ответ: \( B = 16 \). Задача 15 Точка внутри диэлектрика (\( 5R \)). Поле точечного заряда ослабляется диэлектриком в \( \varepsilon \) раз: \[ E = \frac{kQ}{\varepsilon r^2} = \frac{kQ}{2 \cdot (5R)^2} = \frac{1}{50} \frac{kQ}{R^2} = 0,02 \frac{kQ}{R^2} \] Ответ: \( B = 0,02 \). Задача 16 Точка снаружи (\( 10R > 8R \)). Поле вне диэлектрика такое же, как от точечного заряда в вакууме: \[ E = \frac{kQ}{(10R)^2} = \frac{1}{100} \frac{kQ}{R^2} = 0,01 \frac{kQ}{R^2} \] Ответ: \( B = 0,01 \).