Решение задач по физике: Конденсаторы

Ниже представлены решения задач, оформленные для переписывания в школьную тетрадь. Задача 17 Дано: \( C_0 \), \( \varepsilon = 2 \), \( d_{пл} = \frac{1}{6}d \). Решение: Конденсатор с пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора: один с диэлектриком толщиной \( d_1 = \frac{d}{6} \) и один воздушный толщиной \( d_2 = \frac{5d}{6} \). \[ C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d/6} = 6\varepsilon C_0 = 12C_0 \] \[ C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{5d/6} = \frac{6}{5} C_0 = 1,2C_0 \] Общая емкость: \[ C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{12 \cdot 1,2}{12 + 1,2} C_0 = \frac{14,4}{13,2} C_0 \approx 1,09 C_0 \] Ответ: \( B = 1,09 \). Задача 18 Дано: \( C_0 \), проводящая пластина толщиной \( \frac{1}{6}d \). Решение: Проводящая пластина внутри конденсатора просто уменьшает эффективное расстояние между обкладками на свою толщину: \[ d_{eff} = d - \frac{d}{6} = \frac{5}{6}d \] Новая емкость: \[ C = \frac{\varepsilon_0 S}{\frac{5}{6}d} = \frac{6}{5} \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 1,2 C_0 \] Ответ: \( B = 1,2 \). Задача 20 Дано: \( C_1 = C \), \( C_2 = 2C \), \( C_3 = 8C \), \( \mathcal{E} = 13 \) В. Решение: При последовательном соединении заряды на всех конденсаторах равны: \( q_1 = q_2 = q_3 = q \). Общая емкость: \[ \frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{8C} = \frac{8+4+1}{8C} = \frac{13}{8C} \Rightarrow C_{общ} = \frac{8}{13}C \] Общий заряд: \( q = C_{общ} \mathcal{E} = \frac{8}{13}C \cdot 13 = 8C \). Напряжение на втором конденсаторе: \[ U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{8C}{2C} = 4 \text{ В} \] Ответ: 4 В. Задача 22 Дано: \( C \), \( U \), расстояние увеличили в \( n = 7 \) раз. Решение: Так как конденсатор отсоединен, заряд \( q = CU \) остается постоянным. Начальная энергия: \( W_1 = \frac{CU^2}{2} \). Конечная емкость: \( C' = \frac{C}{7} \). Конечная энергия: \( W_2 = \frac{q^2}{2C'} = \frac{(CU)^2}{2(C/7)} = 7 \frac{CU^2}{2} \). Работа: \( A = W_2 - W_1 = 7 \frac{CU^2}{2} - \frac{CU^2}{2} = 6 \frac{CU^2}{2} = 3 CU^2 \). Ответ: \( B = 3 \). Задача 23 Дано: \( I = 0,3 \) А, \( \mathcal{E} = 12 \) В, \( R = 10 \) Ом. Решение: Используем закон Ома для участка цепи: \( \varphi_1 - \varphi_2 + \mathcal{E}_{12} = IR \). 1) Ток от 1 к 2: \( \varphi_1 - \varphi_2 - \mathcal{E} = IR \Rightarrow \varphi_1 - \varphi_2 = 12 + 0,3 \cdot 10 = 15 \text{ В} \). 2) Ток от 2 к 1: \( \varphi_1 - \varphi_2 - \mathcal{E} = -IR \Rightarrow \varphi_1 - \varphi_2 = 12 - 0,3 \cdot 10 = 9 \text{ В} \). Ответ: от 1 к 2: 15 В; от 2 к 1: 9 В. Задача 28 Дано: \( \mathcal{E}_1 = 12 \) В, \( \mathcal{E}_2 = 6 \) В, \( r_1 = 2 \) Ом, \( r_2 = 1 \) Ом, \( R = 9 \) Ом, \( t = 10 \) с. Решение: Источники включены навстречу друг другу. Общая ЭДС: \( \mathcal{E} = \mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2 = 6 \) В. Ток в цепи: \( I = \frac{\mathcal{E}}{R + r_1 + r_2} = \frac{6}{9 + 2 + 1} = 0,5 \) А. Теплота: \( W = I^2 R t \). \[ W_1 = 0,5^2 \cdot 2 \cdot 10 = 5 \text{ Дж} \] \[ W_2 = 0,5^2 \cdot 1 \cdot 10 = 2,5 \text{ Дж} \] \[ W_R = 0,5^2 \cdot 9 \cdot 10 = 22,5 \text{ Дж} \] Ответ: \( W_1 = 5 \) Дж, \( W_2 = 2,5 \) Дж, \( W_R = 22,5 \) Дж. Задача 29 Дано: \( C \), \( U_0 = 6\mathcal{E} \), конечная ЭДС \( \mathcal{E} \). Решение: Начальная энергия: \( W_1 = \frac{C(6\mathcal{E})^2}{2} = 18C\mathcal{E}^2 \). Конечная энергия: \( W_2 = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} = 0,5C\mathcal{E}^2 \). Заряд изменился от \( q_1 = 6C\mathcal{E} \) до \( q_2 = C\mathcal{E} \). Работа источника: \( A_{ист} = \Delta q \cdot \mathcal{E} = (C\mathcal{E} - 6C\mathcal{E})\mathcal{E} = -5C\mathcal{E}^2 \). Теплота: \( Q = W_1 - W_2 + A_{ист} = 18C\mathcal{E}^2 - 0,5C\mathcal{E}^2 - 5C\mathcal{E}^2 = 12,5C\mathcal{E}^2 \). Ответ: \( B = 12,5 \).