Решение задач по физике: Конденсаторы

Ниже представлены решения задач, оформленные для переписывания в тетрадь. Задача 17 Дано: \( C_0 \), \( \varepsilon = 2 \), \( d_{пл} = d/6 \). Решение: Конденсатор с пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора: один с диэлектриком толщиной \( d/6 \) и один воздушный толщиной \( 5d/6 \). \[ C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d/6} = 6\varepsilon C_0 = 12C_0 \] \[ C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{5d/6} = \frac{6}{5} C_0 = 1,2C_0 \] Общая емкость: \[ C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{12 \cdot 1,2}{12 + 1,2} C_0 = \frac{14,4}{13,2} C_0 \approx 1,09 C_0 \] Ответ: \( B = 1,09 \). Задача 18 Дано: \( C_0 \), проводящая пластина толщиной \( d/6 \). Решение: Проводящая пластина внутри конденсатора просто уменьшает эффективное расстояние между обкладками на свою толщину: \[ d_{eff} = d - \frac{d}{6} = \frac{5}{6}d \] Новая емкость: \[ C = \frac{\varepsilon_0 S}{d_{eff}} = \frac{\varepsilon_0 S}{\frac{5}{6}d} = \frac{6}{5} \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 1,2 C_0 \] Ответ: \( B = 1,2 \). Задача 20 Дано: \( C_1 = C \), \( C_2 = 2C \), \( C_3 = 8C \), \( \mathcal{E} = 13 \) В. Решение: При последовательном соединении заряды на всех конденсаторах одинаковы: \( q = C_{общ} \mathcal{E} \). Найдем общую емкость: \[ \frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{8C} = \frac{8+4+1}{8C} = \frac{13}{8C} \Rightarrow C_{общ} = \frac{8}{13}C \] Заряд: \( q = \frac{8}{13}C \cdot 13 = 8C \). Напряжение на втором конденсаторе: \[ U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{8C}{2C} = 4 \text{ В} \] Ответ: 4 В. Задача 22 Дано: \( C \), \( U \), расстояние увеличили в \( n = 7 \) раз. Решение: Так как конденсатор отсоединен, заряд \( q = CU \) остается постоянным. Начальная энергия: \( W_1 = \frac{CU^2}{2} \). Конечная емкость: \( C' = \frac{C}{7} \). Конечная энергия: \( W_2 = \frac{q^2}{2C'} = \frac{(CU)^2}{2(C/7)} = 7 \frac{CU^2}{2} \). Работа внешних сил: \[ A = W_2 - W_1 = 7 \frac{CU^2}{2} - \frac{CU^2}{2} = 6 \frac{CU^2}{2} = 3 CU^2 \] Ответ: \( B = 3 \). Задача 23 Дано: \( I = 0,3 \) А, \( \mathcal{E} = 12 \) В, \( R = 10 \) Ом. Решение: Используем закон Ома для участка цепи: \( \varphi_1 - \varphi_2 + \mathcal{E}_{12} = IR \). 1) Ток от 1 к 2: \( \mathcal{E}_{12} = -\mathcal{E} \) (против источника). \[ \varphi_1 - \varphi_2 - 12 = 0,3 \cdot 10 \Rightarrow \varphi_1 - \varphi_2 = 3 + 12 = 15 \text{ В} \] 2) Ток от 2 к 1: \( I = -0,3 \) А (если считать направление от 1 к 2). \[ \varphi_1 - \varphi_2 - 12 = -0,3 \cdot 10 \Rightarrow \varphi_1 - \varphi_2 = -3 + 12 = 9 \text{ В} \] Ответ: 15 В; 9 В. Задача 29 Дано: \( \mathcal{E} \), \( C \), начальное напряжение \( U_0 = 6\mathcal{E} \). Решение: Начальный заряд: \( q_1 = 6C\mathcal{E} \). Конечный заряд: \( q_2 = C\mathcal{E} \). Изменение заряда: \( \Delta q = q_2 - q_1 = -5C\mathcal{E} \). Работа источника: \( A_{ист} = \Delta q \cdot \mathcal{E} = -5C\mathcal{E}^2 \). Изменение энергии: \( \Delta W = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} - \frac{C(6\mathcal{E})^2}{2} = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} - 18C\mathcal{E}^2 = -17,5 C\mathcal{E}^2 \). Количество теплоты: \[ Q = A_{ист} - \Delta W = -5C\mathcal{E}^2 - (-17,5 C\mathcal{E}^2) = 12,5 C\mathcal{E}^2 \] Ответ: \( B = 12,5 \). Задача 31 Дано: \( C \), \( \mathcal{E} \), \( R_1 = R \), \( R_2 = 2R \). Решение: До размыкания ключа напряжение на конденсаторе равно напряжению на \( R_2 \). Ток в цепи: \( I = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2} = \frac{\mathcal{E}}{3R} \). Напряжение: \( U = I R_2 = \frac{\mathcal{E}}{3R} \cdot 2R = \frac{2}{3}\mathcal{E} \). После размыкания вся энергия конденсатора выделится в виде тепла на резисторе \( R_2 \): \[ Q = W_C = \frac{CU^2}{2} = \frac{C (2\mathcal{E}/3)^2}{2} = \frac{4C\mathcal{E}^2}{18} = \frac{2}{9} C\mathcal{E}^2 \] Ответ: \( \frac{2}{9} C\mathcal{E}^2 \).