Решение задачи №3: Напряженность и потенциал поля сферы

Задача №3 Дано: Радиус сферы: \( R \) Заряд сферы: \( q_{сф} = -6Q \) Точечный заряд в центре: \( q_0 = Q \) Расстояния: \( r_1 = R/3 \), \( r_2 = 4R \) Найти: \( E_1, E_2, \phi_1, \phi_2 \) Решение: 1. Рассмотрим точку на расстоянии \( r_1 = R/3 \) от центра. Эта точка находится внутри сферы. Согласно теореме Гаусса, напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферой внутри неё, равна нулю. Следовательно, поле в этой точке создается только точечным зарядом \( Q \). Напряженность поля: \[ E_1 = k \frac{|q_0|}{r_1^2} = k \frac{Q}{(R/3)^2} = \frac{9kQ}{R^2} \] Так как \( Q > 0 \), вектор напряженности \( \vec{E_1} \) направлен от центра сферы (радиально вовне). Потенциал в этой точке складывается из потенциала точечного заряда и потенциала сферы (который внутри сферы постоянен и равен потенциалу на её поверхности): \[ \phi_1 = k \frac{q_0}{r_1} + k \frac{q_{сф}}{R} = k \frac{Q}{R/3} + k \frac{-6Q}{R} = \frac{3kQ}{R} - \frac{6kQ}{R} = -\frac{3kQ}{R} \] 2. Рассмотрим точку на расстоянии \( r_2 = 4R \) от центра. Эта точка находится вне сферы. Для внешних точек сфера ведет себя как точечный заряд, помещенный в её центр. Общий заряд системы: \[ q_{общ} = q_0 + q_{сф} = Q - 6Q = -5Q \] Напряженность поля: \[ E_2 = k \frac{|q_{общ}|}{r_2^2} = k \frac{5Q}{(4R)^2} = \frac{5kQ}{16R^2} \] Так как суммарный заряд отрицателен, вектор напряженности \( \vec{E_2} \) направлен к центру сферы (радиально внутрь). Потенциал в этой точке: \[ \phi_2 = k \frac{q_{общ}}{r_2} = k \frac{-5Q}{4R} = -\frac{5kQ}{4R} \] Ответ: Для \( r_1 = R/3 \): \( E_1 = \frac{9kQ}{R^2} \) (от центра), \( \phi_1 = -\frac{3kQ}{R} \). Для \( r_2 = 4R \): \( E_2 = \frac{5kQ}{16R^2} \) (к центру), \( \phi_2 = -\frac{5kQ}{4R} \).