Решение задачи №5: Напряженность электрического поля

Ниже представлены решения выбранных задач в удобном для переписывания виде. Задача №5 Дано: \( E_A = 600 \) Н/Кл \( E_C = 1000 \) Н/Кл \( \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \) Ф/м Решение: Напряженность поля бесконечной пластины: \( E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \). В точке \( C \) (слева) поля направлены в одну сторону (вправо), значит заряды пластин имеют разные знаки или модули. Судя по рисунку: \[ E_C = \frac{\sigma_2}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma_1}{2\epsilon_0} = 1000 \] В точке \( A \) (справа) поля также складываются: \[ E_A = \frac{\sigma_1}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma_2}{2\epsilon_0} = -600 \] (так как вектор направлен влево). Сложим уравнения: \[ \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2\epsilon_0} = E_C + E_A \] — это не совсем верно по знакам векторов. Правильнее из системы: 1) \( \frac{\sigma_1}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma_2}{2\epsilon_0} = E_{между} \) 2) \( \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2\epsilon_0} = E_C \) 3) \( \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{2\epsilon_0} = E_A \) Из рисунка видно, что \( E_C \) и \( E_A \) направлены в разные стороны. \( \sigma_1 = \epsilon_0 (E_C - E_A) = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot (1000 - (-600)) = 14,16 \cdot 10^{-9} \) Кл/м\(^2\) \( \sigma_2 = \epsilon_0 (E_C + E_A) = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot (1000 + (-600)) = 3,54 \cdot 10^{-9} \) Кл/м\(^2\) Ответ: \( \sigma_1 = 14,16 \) нКл/м\(^2\); \( \sigma_2 = 3,54 \) нКл/м\(^2\). Задача №6 Объяснение: Протон имеет положительный заряд. В электростатическом поле на него действует сила \( \vec{F} = q\vec{E} \), направление которой совпадает с направлением вектора напряженности (касательной к линии поля). Так как начальная скорость равна нулю, протон начнет движение в сторону вектора \( \vec{E} \). Однако, поскольку линии поля искривлены, вектор силы будет постоянно менять направление. Траектория протона будет представлять собой кривую, которая "сглаживает" изгиб силовых линий, так как из-за инерции протон не может мгновенно менять направление скорости точно вдоль линии. Траектория: кривая, выходящая из точки \( A \) вправо-вниз, идущая чуть выше средней силовой линии. Задача №7 Дано: \( v_A = 8 \cdot 10^6 \) м/с \( v_B = 2 \cdot 10^6 \) м/с \( m = 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг \( q = -1,6 \cdot 10^{-19} \) Кл Решение: По закону сохранения энергии: \[ \frac{mv_A^2}{2} + q\phi_A = \frac{mv_B^2}{2} + q\phi_B \] \[ q(\phi_A - \phi_B) = \frac{m}{2}(v_B^2 - v_A^2) \] \[ \phi_A - \phi_B = \frac{m(v_B^2 - v_A^2)}{2q} \] \[ \phi_A - \phi_B = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot (4 \cdot 10^{12} - 64 \cdot 10^{12})}{2 \cdot (-1,6 \cdot 10^{-19})} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot (-60 \cdot 10^{12})}{-3,2 \cdot 10^{-19}} \approx 170,6 \] В. Ответ: \( 170,6 \) В. Задача №8 Дано: Заряды: \( Q, 2Q \). Перемещаем \( 4Q \). Диагонали: \( a, 2a \). Расстояния от вершин до центра: \( r_1 = a/2 \), \( r_2 = a \). Решение: Работа \( A = q(\phi_{кон} - \phi_{нач}) \). Начальная точка (3-я вершина ромба). Расстояние до \( Q \) и \( 2Q \) одинаково и равно стороне ромба \( L = \sqrt{(a/2)^2 + a^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \). \[ \phi_{нач} = \frac{kQ}{L} + \frac{k(2Q)}{L} = \frac{3kQ}{a\sqrt{5}/2} = \frac{6kQ}{a\sqrt{5}} \] Конечная точка (центр): \[ \phi_{кон} = \frac{kQ}{a} + \frac{k(2Q)}{a/2} = \frac{kQ}{a} + \frac{4kQ}{a} = \frac{5kQ}{a} \] Работа: \[ A = 4Q \cdot (\frac{5kQ}{a} - \frac{6kQ}{a\sqrt{5}}) = \frac{kQ^2}{a} \cdot 4 \cdot (5 - \frac{6}{\sqrt{5}}) \approx \frac{kQ^2}{a} \cdot 4 \cdot (5 - 2,68) = 9,28 \frac{kQ^2}{a} \] Ответ: \( B = 9,28 \). Задача №11 Решение: Для точки вне проводящего шара (\( r > 4R \)) вся система (заряд в центре + заряд шара) ведет себя как точечный заряд в центре. Суммарный заряд: \( Q_{общ} = Q + 4Q = 5Q \). Потенциал в точке \( C \) на расстоянии \( r = 6R \): \[ \phi_C = \frac{k Q_{общ}}{r} = \frac{k \cdot 5Q}{6R} = \frac{5}{6} \frac{kQ}{R} \approx 0,833 \frac{kQ}{R} \] Ответ: \( B = 0,833 \). Задача №20 Дано: \( C_1 = C, C_2 = 2C, C_3 = 8C \) \( \mathcal{E} = 13 \) В Решение: При последовательном соединении заряды на всех конденсаторах равны: \( q_1 = q_2 = q_3 = q \). Общая емкость: \[ \frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{8C} = \frac{8+4+1}{8C} = \frac{13}{8C} \Rightarrow C_{общ} = \frac{8C}{13} \] Общий заряд: \[ q = C_{общ} \cdot \mathcal{E} = \frac{8C}{13} \cdot 13 = 8C \] Напряжение на втором конденсаторе (\( 2C \)): \[ U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{8C}{2C} = 4 \] В. Ответ: \( 4 \) В.