Решение задачи: потенциал проводящего шара

Ниже представлены решения выбранных задач, оформленные для переписывания в тетрадь. Задача 13 Дано: Радиусы: \(R\), \(4R\). Заряд шара: \(4Q\). Точечный заряд в центре: \(Q\). Решение: Потенциал проводящего полого шара одинаков во всех его точках (от \(r=R\) до \(r=4R\)). Удобнее всего рассчитать потенциал на внешней поверхности (\(r=4R\)). Согласно принципу суперпозиции, потенциал создается точечным зарядом \(Q\) и зарядом самого шара \(4Q\). Для внешней поверхности система ведет себя как точечный заряд \(Q_{sum} = Q + 4Q = 5Q\), расположенный в центре. \[\phi = \frac{k Q_{sum}}{4R} = \frac{k \cdot 5Q}{4R} = \frac{5}{4} \frac{kQ}{R} = 1.25 \frac{kQ}{R}\] Коэффициент \(B = 1.25\). Ответ: 1.25 Задача 19 Дано: Расстояния: \(d\) и \(6d\). Заряд пластины: \(Q\). ЭДС источника: \(\mathcal{E}\). Решение: Пусть \(q_1\) — заряд левой обкладки, \(q_2\) — заряд правой обкладки. Пластина посередине имеет заряд \(Q\). По закону сохранения заряда и электростатической индукции, на поверхностях пластины индуцируются заряды, создающие поля. Разность потенциалов между обкладками равна \(\mathcal{E}\). Напряженность поля в левом зазоре \(E_1\), в правом \(E_2\). \[E_1 \cdot d + E_2 \cdot 6d = \mathcal{E}\] Используя теорему Гаусса для бесконечных плоскостей: \[E_1 = \frac{q_1 - (Q + q_2)}{2 \epsilon_0 S}, \quad E_2 = \frac{(q_1 + Q) - q_2}{2 \epsilon_0 S}\] Учитывая, что система в целом может быть не нейтральна из-за подключения к источнику, решение сводится к системе уравнений для потенциалов. Заряды обкладок: \[q_1 = \frac{\epsilon_0 S \mathcal{E}}{7d} - \frac{6}{7}Q\] \[q_2 = -\frac{\epsilon_0 S \mathcal{E}}{7d} - \frac{1}{7}Q\] Задача 21 Дано: Емкости: \(C\), \(2C\), \(3C\). Решение: 1) До пробоя: Емкость параллельного участка \(C_{par} = 3C + 2C = 5C\). Общая емкость: \(C_{tot} = \frac{C \cdot 5C}{C + 5C} = \frac{5}{6}C\). Заряд на первом конденсаторе \(C\): \(q_0 = C_{tot} \cdot U = \frac{5}{6}CU\). 2) После пробоя \(3C\): Конденсатор \(3C\) превращается в проводник (резистор). В установившемся режиме (постоянный ток не течет через \(C\) и \(2C\)) конденсатор \(2C\) окажется закороченным или включенным иначе. Однако, если рассматривать "конечное сопротивление" как пробой диэлектрика, то через ветку \(3C\) пойдет ток. Напряжение на \(C\) станет равно \(U\), так как конденсаторы \(C\) и \(2C\) в итоге зарядятся до напряжений, определяемых делителем (если рассматривать утечку). В школьной задаче обычно подразумевается, что \(3C\) становится перемычкой. Тогда \(C\) и \(2C\) соединены параллельно источнику. Новый заряд на \(C\): \(q_1 = C \cdot U\). Отношение: \(\frac{q_1}{q_0} = \frac{CU}{\frac{5}{6}CU} = \frac{6}{5} = 1.2\). Ответ: 1.2 Задача 24 Дано: \(R_1=6\), \(R_2=14\), \(R_3=1.8\), \(R_4=12\), \(\mathcal{E}=4.5\), \(r=0.5\). Решение: 1) Найдем эквивалентное сопротивление. \(R_1\) и \(R_2\) параллельны: \[R_{12} = \frac{6 \cdot 14}{6 + 14} = \frac{84}{20} = 4.2 \text{ Ом}\] 2) \(R_{12}\) и \(R_3\) последовательны: \(R_{123} = 4.2 + 1.8 = 6 \text{ Ом}\). 3) \(R_{123}\) и \(R_4\) параллельны: \[R_{ext} = \frac{6 \cdot 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \text{ Ом}\] 4) Полный ток в цепи: \[I = \frac{\mathcal{E}}{R_{ext} + r} = \frac{4.5}{4 + 0.5} = 1 \text{ А}\] 5) Напряжение на узлах A и D: \(U_{AD} = I \cdot R_{ext} = 1 \cdot 4 = 4 \text{ В}\). 6) Ток через ветку ABC: \(I_{ABC} = \frac{U_{AD}}{R_{123}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \text{ А}\). 7) Ток \(I_2\) через \(R_2\) (обратно пропорционально сопротивлениям): \[I_2 = I_{ABC} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{6 + 14} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{20} = \frac{12}{60} = 0.2 \text{ А}\] Ответ: 0.2 Задача 25 Дано: \(\mathcal{E}_1=18\), \(\mathcal{E}_2=3\), \(r_1=2\), \(r_2=1\), \(R=12\). Решение: Источники включены встречно. Общая ЭДС: \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2 = 18 - 3 = 15 \text{ В}\). Полное сопротивление: \(R_{tot} = R + r_1 + r_2 = 12 + 2 + 1 = 15 \text{ Ом}\). Ток в цепи: \(I = \frac{\mathcal{E}}{R_{tot}} = \frac{15}{15} = 1 \text{ А}\). Ток идет от плюса \(\mathcal{E}_1\). 1) Напряжение на первом источнике (он разряжается): \[U_1 = \phi_A - \phi_B = \mathcal{E}_1 - I r_1 = 18 - 1 \cdot 2 = 16 \text{ В}\] 2) Напряжение на втором источнике (он заряжается, ток входит в его плюс): \[U_2 = \phi_B - \phi_C = \mathcal{E}_2 + I r_2 = 3 + 1 \cdot 1 = 4 \text{ В}\] Ответ: 16; 4