Упрощение выражений: Решение задачи №831

831. Упростите выражение: а) \( (12a - 1)^2 - 1 \) Для решения воспользуемся формулой квадрата разности \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \): \[ (12a - 1)^2 - 1 = (12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 1 + 1^2 - 1 = 144a^2 - 24a + 1 - 1 = 144a^2 - 24a \] Ответ: \( 144a^2 - 24a \) б) \( (2a + 6b)^2 - 24ab \) Воспользуемся формулой квадрата суммы \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \): \[ (2a + 6b)^2 - 24ab = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 6b + (6b)^2 - 24ab = 4a^2 + 24ab + 36b^2 - 24ab = 4a^2 + 36b^2 \] Ответ: \( 4a^2 + 36b^2 \) в) \( 121 - (11 - 9x)^2 \) Раскроем скобки по формуле квадрата разности: \[ 121 - (11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 9x + (9x)^2) = 121 - (121 - 198x + 81x^2) \] Раскроем скобки, меняя знаки: \[ 121 - 121 + 198x - 81x^2 = 198x - 81x^2 \] Ответ: \( 198x - 81x^2 \) г) \( a^2b^2 - (ab - 7)^2 \) Раскроем квадрат разности: \[ a^2b^2 - ((ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 7 + 7^2) = a^2b^2 - (a^2b^2 - 14ab + 49) \] Раскроем скобки: \[ a^2b^2 - a^2b^2 + 14ab - 49 = 14ab - 49 \] Ответ: \( 14ab - 49 \) д) \( b^2 + 49 - (b - 7)^2 \) Раскроем квадрат разности: \[ b^2 + 49 - (b^2 - 2 \cdot b \cdot 7 + 49) = b^2 + 49 - (b^2 - 14b + 49) \] Раскроем скобки: \[ b^2 + 49 - b^2 + 14b - 49 = 14b \] Ответ: \( 14b \) е) \( a^4 - 81 - (a^2 + 9)^2 \) Раскроем квадрат суммы: \[ a^4 - 81 - ((a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 9 + 9^2) = a^4 - 81 - (a^4 + 18a^2 + 81) \] Раскроем скобки: \[ a^4 - 81 - a^4 - 18a^2 - 81 = -18a^2 - 162 \] Ответ: \( -18a^2 - 162 \)