Решение задач 832 и 833: Упрощение алгебраических выражений

832. Представьте выражение в виде многочлена: а) \( 18a + (a - 9)^2 \) Раскроем квадрат разности: \[ 18a + a^2 - 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = 18a + a^2 - 18a + 81 = a^2 + 81 \] Ответ: \( a^2 + 81 \) б) \( (5x - 1)^2 - 25x^2 \) Раскроем квадрат разности: \[ (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 - 25x^2 = 25x^2 - 10x + 1 - 25x^2 = -10x + 1 \] Ответ: \( -10x + 1 \) в) \( 4x^2 - (2x - 3)^2 \) Раскроем квадрат разности внутри скобок: \[ 4x^2 - ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) = 4x^2 - (4x^2 - 12x + 9) \] Раскроем скобки, меняя знаки: \[ 4x^2 - 4x^2 + 12x - 9 = 12x - 9 \] Ответ: \( 12x - 9 \) г) \( (a + 2b)^2 - 4b^2 \) Раскроем квадрат суммы: \[ a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 - 4b^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 - 4b^2 = a^2 + 4ab \] Ответ: \( a^2 + 4ab \) 833. Упростите выражение: а) \( (x - 3)^2 + x(x + 9) \) Раскроем квадрат и умножим одночлен на многочлен: \[ x^2 - 6x + 9 + x^2 + 9x = 2x^2 + 3x + 9 \] Ответ: \( 2x^2 + 3x + 9 \) б) \( (2a + 5)^2 - 5(4a + 5) \) Раскроем квадрат и распределительное свойство: \[ 4a^2 + 20a + 25 - 20a - 25 = 4a^2 \] Ответ: \( 4a^2 \) в) \( 9b(b - 1) - (3b + 2)^2 \) \[ 9b^2 - 9b - (9b^2 + 12b + 4) = 9b^2 - 9b - 9b^2 - 12b - 4 = -21b - 4 \] Ответ: \( -21b - 4 \) г) \( (b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b) \) Раскроем квадрат и перемножим скобки: \[ b^2 - 8b + 16 + (2b - b^2 - 2 + b) = b^2 - 8b + 16 + 3b - b^2 - 2 = -5b + 14 \] Ответ: \( -5b + 14 \) д) \( (a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2 \) \[ (5a - a^2 + 15 - 3a) - (a^2 - 2a + 1) = -a^2 + 2a + 15 - a^2 + 2a - 1 = -2a^2 + 4a + 14 \] Ответ: \( -2a^2 + 4a + 14 \) е) \( (5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2 \) \[ (5y - 15 + 2y^2 - 6y) - (25 - 20y + 4y^2) = 2y^2 - y - 15 - 25 + 20y - 4y^2 = -2y^2 + 19y - 40 \] Ответ: \( -2y^2 + 19y - 40 \)