Решение интеграла ∫ dx/ch²(x)

Задание: Найти неопределенный интеграл от функции, обратной квадрату гиперболического косинуса. Дано: \[ \int \frac{dx}{\text{ch}^2 x} \] Решение: Данное выражение является табличным интегралом для гиперболических функций. Чтобы найти первообразную, вспомним формулу производной гиперболического тангенса: \[ (\text{th } x)' = \frac{1}{\text{ch}^2 x} \] Следовательно, по определению неопределенного интеграла (как операции, обратной дифференцированию): \[ \int \frac{dx}{\text{ch}^2 x} = \text{th } x + C \] где \( C \) — произвольная постоянная. Анализ вариантов ответа: 1. \( \text{th } x + C \) — верно. 2. \( -\text{cth } x + C \) — неверно (это результат интеграла от \( \frac{1}{\text{sh}^2 x} \)). 3. \( -\text{th } x + C \) — неверно. 4. \( \text{cth } x + C \) — неверно. Ответ: \[ \text{th } x + C \] (Первый вариант в списке).