Решение интеграла ∫x^α dx

Задание: Найти неопределенный интеграл от степенной функции. Дано: \[ \int x^{\alpha} dx, \quad \alpha \neq -1 \] Решение: Это базовый табличный интеграл для степенной функции. Согласно правилу интегрирования, при нахождении первообразной показатель степени увеличивается на единицу, и полученное выражение делится на этот новый показатель. Формула выглядит следующим образом: \[ \int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \] где \( C \) — произвольная постоянная. Условие \( \alpha \neq -1 \) необходимо для того, чтобы знаменатель не обратился в ноль (в случае \( \alpha = -1 \) интеграл равен натуральному логарифму). Анализ вариантов ответа: 1. \( x^{\alpha} \ln \alpha + C \) — неверно. 2. \( \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \) — верно. 3. \( \alpha x^{\alpha-1} + C \) — это формула производной, а не интеграла. 4. \( \frac{x^{\alpha-1}}{\alpha-1} + C \) — неверно. Ответ: \[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \] (Второй вариант в списке).