Интеграл от 1/sin(x): Решение и Объяснение

Задание: Найти неопределенный интеграл от функции, обратной синусу. Дано: \[ \int \frac{dx}{\sin x} \] Решение: Этот интеграл относится к числу стандартных, но более сложных табличных интегралов. Его можно вычислить с помощью универсальной тригонометрической подстановки или путем преобразования подынтегрального выражения. Применим формулу синуса двойного угла \( \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \): \[ \int \frac{dx}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \int \frac{dx}{2 \text{tg} \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} \] Заметим, что \( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = d(\text{tg} \frac{x}{2}) \). Тогда: \[ \int \frac{d(\text{tg} \frac{x}{2})}{\text{tg} \frac{x}{2}} = \ln \left| \text{tg} \frac{x}{2} \right| + C \] Анализ вариантов ответа: 1. \( \text{tg } x + C \) — неверно. 2. \( \ln \left| \text{tg} (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \right| + C \) — это формула для интеграла \( \int \frac{dx}{\cos x} \). 3. \( -\text{ctg } x + C \) — это формула для интеграла \( \int \frac{dx}{\sin^2 x} \). 4. \( \ln \left| \text{tg} \frac{x}{2} \right| + C \) — верно. Ответ: \[ \ln \left| \text{tg} \frac{x}{2} \right| + C \] (Четвертый вариант в списке).