Решение задачи: изменение давления и температуры азота при охлаждении

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику:

Задача 4. В закрытом сосуде емкостью \(V = 0,6\) м³ содержится азот при давлении (абсолютном) \(p_1 = 0,5\) МПа и температуре \(t_1 = 20\) °С. В результате охлаждения сосуда азот, содержащийся в нем, теряет теплоту \(Q = 105\) кДж. Принимая теплоемкость азота постоянной, определить, какие давление и температура устанавливаются в сосуде после охлаждения.

Дано:

• Объем сосуда: \(V = 0,6\) м³
• Начальное давление: \(p_1 = 0,5\) МПа \( = 0,5 \cdot 10^6\) Па
• Начальная температура: \(t_1 = 20\) °С
• Потерянная теплота: \(Q = 105\) кДж \( = 105 \cdot 10^3\) Дж

Найти:

• Конечное давление: \(p_2\)
• Конечная температура: \(t_2\)

Решение:

1. Переведем начальную температуру из градусов Цельсия в Кельвины:

\[T_1 = t_1 + 273,15\] \[T_1 = 20 + 273,15 = 293,15 \text{ К}\]

2. Для азота (двухатомный газ) молярная масса \(M = 28 \cdot 10^{-3}\) кг/моль. Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314\) Дж/(моль·К).

3. Используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для определения количества вещества (числа молей) азота в сосуде:

\[p_1 V = n R T_1\]

Отсюда найдем число молей \(n\):

\[n = \frac{p_1 V}{R T_1}\] \[n = \frac{0,5 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0,6 \text{ м}^3}{8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 293,15 \text{ К}}\] \[n \approx \frac{300000}{2437,9} \approx 123,05 \text{ моль}\]

4. Поскольку сосуд закрытый и объем постоянный, процесс охлаждения происходит при постоянном объеме (изохорный процесс). В этом случае изменение внутренней энергии газа равно переданной теплоте:

\[Q = n C_V \Delta T\]

где \(C_V\) - молярная изохорная теплоемкость газа. Для двухатомного газа, такого как азот, \(C_V = \frac{5}{2} R\).

\[C_V = \frac{5}{2} \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль·К)} = 2,5 \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль·К)} = 20,785 \text{ Дж/(моль·К)}\]

5. Теплота \(Q\) отдается газом, поэтому она отрицательна в уравнении теплового баланса. Однако в условии задачи указано, что газ "теряет теплоту \(Q\)", поэтому мы можем использовать абсолютное значение \(Q\) и учесть, что температура уменьшается.

\[Q = n C_V (T_1 - T_2)\]

Отсюда выразим конечную температуру \(T_2\):

\[T_1 - T_2 = \frac{Q}{n C_V}\] \[T_2 = T_1 - \frac{Q}{n C_V}\] \[T_2 = 293,15 \text{ К} - \frac{105 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{123,05 \text{ моль} \cdot 20,785 \text{ Дж/(моль·К)}}\] \[T_2 = 293,15 \text{ К} - \frac{105000}{2557,6} \text{ К}\] \[T_2 = 293,15 \text{ К} - 41,05 \text{ К}\] \[T_2 = 252,1 \text{ К}\]

6. Переведем конечную температуру обратно в градусы Цельсия:

\[t_2 = T_2 - 273,15\] \[t_2 = 252,1 - 273,15 = -21,05 \text{ °С}\]

7. Для изохорного процесса (постоянный объем) отношение давления к температуре остается постоянным:

\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]

Отсюда найдем конечное давление \(p_2\):

\[p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}\] \[p_2 = 0,5 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot \frac{252,1 \text{ К}}{293,15 \text{ К}}\] \[p_2 = 0,5 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0,8606\] \[p_2 = 0,4303 \cdot 10^6 \text{ Па}\] \[p_2 = 0,4303 \text{ МПа}\]

Ответ:

Давление, установившееся в сосуде после охлаждения, составляет \(p_2 \approx 0,43\) МПа.

Температура, установившаяся в сосуде после охлаждения, составляет \(t_2 \approx -21,05\) °С.