Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 5,526 & 0,305 & 0,887 & 0,037 & | & 0,774 \\ 0,658 & 2,453 & 0,678 & 0,192 & | & 0,245 \\ 0,398 & 0,232 & 4,957 & 0,567 & | & 0,343 \\ 0,081 & 0,521 & 0,192 & 4,988 & | & 0,263 \end{pmatrix} \] Шаг 1. Прямой ход метода Гаусса. Разделим первую строку на \( 5,526 \): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0,0552 & 0,1605 & 0,0067 & | & 0,1401 \\ 0,658 & 2,453 & 0,678 & 0,192 & | & 0,245 \\ 0,398 & 0,232 & 4,957 & 0,567 & | & 0,343 \\ 0,081 & 0,521 & 0,192 & 4,988 & | & 0,263 \end{pmatrix} \] Обнулим элементы под главной диагональю в первом столбце: Из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на \( 0,658 \). Из 3-й строки вычтем 1-ю, умноженную на \( 0,398 \). Из 4-й строки вычтем 1-ю, умноженную на \( 0,081 \). Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0,0552 & 0,1605 & 0,0067 & | & 0,1401 \\ 0 & 2,4167 & 0,5724 & 0,1876 & | & 0,1528 \\ 0 & 0,2100 & 4,8931 & 0,5643 & | & 0,2872 \\ 0 & 0,5165 & 0,1790 & 4,9875 & | & 0,2517 \end{pmatrix} \] Шаг 2. Разделим вторую строку на \( 2,4167 \): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0,0552 & 0,1605 & 0,0067 & | & 0,1401 \\ 0 & 1 & 0,2368 & 0,0776 & | & 0,0632 \\ 0 & 0,2100 & 4,8931 & 0,5643 & | & 0,2872 \\ 0 & 0,5165 & 0,1790 & 4,9875 & | & 0,2517 \end{pmatrix} \] Обнулим элементы под главной диагональю во втором столбце: Из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на \( 0,2100 \). Из 4-й строки вычтем 2-ю, умноженную на \( 0,5165 \). Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0,0552 & 0,1605 & 0,0067 & | & 0,1401 \\ 0 & 1 & 0,2368 & 0,0776 & | & 0,0632 \\ 0 & 0 & 4,8434 & 0,5480 & | & 0,2739 \\ 0 & 0 & 0,0567 & 4,9474 & | & 0,2191 \end{pmatrix} \] Шаг 3. Разделим третью строку на \( 4,8434 \): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0,0552 & 0,1605 & 0,0067 & | & 0,1401 \\ 0 & 1 & 0,2368 & 0,0776 & | & 0,0632 \\ 0 & 0 & 1 & 0,1131 & | & 0,0565 \\ 0 & 0 & 0,0567 & 4,9474 & | & 0,2191 \end{pmatrix} \] Обнулим элемент в четвертой строке: Из 4-й строки вычтем 3-ю, умноженную на \( 0,0567 \). \[ \begin{pmatrix} 1 & 0,0552 & 0,1605 & 0,0067 & | & 0,1401 \\ 0 & 1 & 0,2368 & 0,0776 & | & 0,0632 \\ 0 & 0 & 1 & 0,1131 & | & 0,0565 \\ 0 & 0 & 0 & 4,9410 & | & 0,2159 \end{pmatrix} \] Шаг 4. Обратный ход. Из последнего уравнения: \[ 4,9410 x_4 = 0,2159 \Rightarrow x_4 \approx 0,0437 \] Из третьего уравнения: \[ x_3 + 0,1131 \cdot 0,0437 = 0,0565 \Rightarrow x_3 \approx 0,0565 - 0,0049 = 0,0516 \] Из второго уравнения: \[ x_2 + 0,2368 \cdot 0,0516 + 0,0776 \cdot 0,0437 = 0,0632 \] \[ x_2 + 0,0122 + 0,0034 = 0,0632 \Rightarrow x_2 \approx 0,0476 \] Из первого уравнения: \[ x_1 + 0,0552 \cdot 0,0476 + 0,1605 \cdot 0,0516 + 0,0067 \cdot 0,0437 = 0,1401 \] \[ x_1 + 0,0026 + 0,0083 + 0,0003 = 0,1401 \Rightarrow x_1 \approx 0,1289 \] Ответ: \[ x_1 \approx 0,1289; \quad x_2 \approx 0,0476; \quad x_3 \approx 0,0516; \quad x_4 \approx 0,0437 \]