Решение уравнения (3x-x^2)/2 + (2x^2-x)/6 = x и (3x + 1)/4 - (7x - x^2)/10 = (x^2 - 1)/8

Задание 1. Решите уравнение. 1) а) \(\frac{3x - x^2}{2} + \frac{2x^2 - x}{6} = x\) Решение: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 6, чтобы избавиться от дробей: \[3(3x - x^2) + (2x^2 - x) = 6x\] Раскроем скобки: \[9x - 3x^2 + 2x^2 - x = 6x\] Приведем подобные слагаемые: \[-x^2 + 8x = 6x\] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[-x^2 + 8x - 6x = 0\] \[-x^2 + 2x = 0\] Умножим на -1: \[x^2 - 2x = 0\] Вынесем x за скобки: \[x(x - 2) = 0\] Отсюда: \[x_1 = 0\] \[x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2\] Ответ: 0; 2. б) \(\frac{3x + 1}{4} - \frac{7x - x^2}{10} = \frac{x^2 - 1}{8}\) Решение: Найдем общий знаменатель для 4, 10 и 8. Это число 40. Умножим все части уравнения на 40: \[10(3x + 1) - 4(7x - x^2) = 5(x^2 - 1)\] Раскроем скобки: \[30x + 10 - 28x + 4x^2 = 5x^2 - 5\] Приведем подобные в левой части: \[4x^2 + 2x + 10 = 5x^2 - 5\] Перенесем всё в правую часть: \[5x^2 - 4x^2 - 2x - 5 - 10 = 0\] \[x^2 - 2x - 15 = 0\] Решим через дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}\] \[x_1 = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-6}{2} = -3\] Ответ: -3; 5. 2) а) \(\frac{x^2}{2 - x} = \frac{3x}{2 - x}\) Решение: Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю: \(2 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\). Так как знаменатели одинаковы, приравниваем числители: \[x^2 = 3x\] \[x^2 - 3x = 0\] \[x(x - 3) = 0\] \[x_1 = 0\] \[x_2 = 3\] Оба корня удовлетворяют условию \(x \neq 2\). Ответ: 0; 3. в) \(\frac{2x^2 + 3x}{3 - x} = \frac{x - x^2}{x - 3}\) Решение: Заметим, что \(x - 3 = -(3 - x)\). Перепишем уравнение: \[\frac{2x^2 + 3x}{3 - x} = \frac{x - x^2}{-(3 - x)}\] \[\frac{2x^2 + 3x}{3 - x} = \frac{x^2 - x}{3 - x}\] Условие: \(3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\). Приравниваем числители: \[2x^2 + 3x = x^2 - x\] \[2x^2 - x^2 + 3x + x = 0\] \[x^2 + 4x = 0\] \[x(x + 4) = 0\] \[x_1 = 0\] \[x_2 = -4\] Оба корня удовлетворяют условию \(x \neq 3\). Ответ: -4; 0.