Решение задачи №3: Расчет параметров трехфазной цепи

Ниже представлено решение задачи №3, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №3 Дано: \[ U_л = 220 \text{ В} \] \[ \underline{Z}_A = 10 \text{ Ом} \] \[ \underline{Z}_B = j10 \text{ Ом} \] \[ \underline{Z}_C = -j20 \text{ Ом} \] 1. Нормальный режим работы Рассчитаем фазное напряжение источника: \[ U_ф = \frac{U_л}{\sqrt{3}} = \frac{220}{1,73} \approx 127 \text{ В} \] Примем фазное напряжение фазы А направленным по вещественной оси: \[ \dot{U}_A = 127 \text{ В} \] \[ \dot{U}_B = 127 \cdot e^{-j120^\circ} = -63,5 - j110 \text{ В} \] \[ \dot{U}_C = 127 \cdot e^{j120^\circ} = -63,5 + j110 \text{ В} \] Комплексные проводимости фаз: \[ \underline{Y}_A = \frac{1}{\underline{Z}_A} = \frac{1}{10} = 0,1 \text{ См} \] \[ \underline{Y}_B = \frac{1}{\underline{Z}_B} = \frac{1}{j10} = -j0,1 \text{ См} \] \[ \underline{Y}_C = \frac{1}{\underline{Z}_C} = \frac{1}{-j20} = j0,05 \text{ См} \] Напряжение смещения нейтрали по методу узловых потенциалов: \[ \dot{U}_{nN} = \frac{\dot{U}_A \underline{Y}_A + \dot{U}_B \underline{Y}_B + \dot{U}_C \underline{Y}_C}{\underline{Y}_A + \underline{Y}_B + \underline{Y}_C} \] \[ \dot{U}_{nN} = \frac{127 \cdot 0,1 + (-63,5 - j110)(-j0,1) + (-63,5 + j110)(j0,05)}{0,1 - j0,1 + j0,05} \] \[ \dot{U}_{nN} = \frac{12,7 + j6,35 - 11 - j3,175 - 5,5}{0,1 - j0,05} = \frac{-3,8 + j3,175}{0,1 - j0,05} \approx -43,6 + j9,9 \text{ В} \] Фазные напряжения приемника: \[ \dot{U}_a = \dot{U}_A - \dot{U}_{nN} = 127 - (-43,6 + j9,9) = 170,6 - j9,9 \text{ В} \] \[ \dot{U}_b = \dot{U}_B - \dot{U}_{nN} = (-63,5 - j110) - (-43,6 + j9,9) = -19,9 - j119,9 \text{ В} \] \[ \dot{U}_c = \dot{U}_C - \dot{U}_{nN} = (-63,5 + j110) - (-43,6 + j9,9) = -19,9 + j100,1 \text{ В} \] Линейные токи (они же фазные): \[ \dot{I}_A = \dot{U}_a \underline{Y}_A = (170,6 - j9,9) \cdot 0,1 = 17,06 - j0,99 \text{ А} \] \[ \dot{I}_B = \dot{U}_b \underline{Y}_B = (-19,9 - j119,9) \cdot (-j0,1) = -11,99 + j1,99 \text{ А} \] \[ \dot{I}_C = \dot{U}_c \underline{Y}_C = (-19,9 + j100,1) \cdot (j0,05) = -5,005 - j0,995 \text{ А} \] Проверка по первому закону Кирхгофа: \[ \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = (17,06 - 11,99 - 5,005) + j(-0,99 + 1,99 - 0,995) \approx 0 \] Мощности: \[ P = I_A^2 R_A = 17,1^2 \cdot 10 \approx 2924 \text{ Вт} \] \[ Q = I_B^2 X_B + I_C^2 X_C = 12,15^2 \cdot 10 + 5,1^2 \cdot (-20) = 1476 - 520 = 956 \text{ вар} \] \[ S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{2924^2 + 956^2} \approx 3076 \text{ В}\cdot\text{А} \] \[ \cos \phi = \frac{P}{S} = \frac{2924}{3076} \approx 0,95 \] 2. Обрыв фазы А При обрыве фазы А: \(\dot{I}_A = 0\). Приемник превращается в последовательную цепь фаз B и C, включенную на линейное напряжение \(U_{BC}\). \[ \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B - \dot{U}_C}{\underline{Z}_B + \underline{Z}_C} = \frac{\dot{U}_{BC}}{j10 - j20} = \frac{-j220}{-j10} = 22 \text{ А} \] \[ \dot{I}_C = -\dot{I}_B = -22 \text{ А} \] 3. Короткое замыкание фазы С При КЗ фазы С точка \(n\) соединяется с точкой \(C\). Напряжение смещения нейтрали: \[ \dot{U}_{nN} = \dot{U}_C = -63,5 + j110 \text{ В} \] Напряжения на фазах А и B станут равны линейным: \[ \dot{U}_a = \dot{U}_A - \dot{U}_C = \dot{U}_{AC} \] \[ \dot{U}_b = \dot{U}_B - \dot{U}_C = \dot{U}_{BC} \] Токи: \[ \dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AC}}{\underline{Z}_A}, \quad \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{BC}}{\underline{Z}_B} \] \[ \dot{I}_C = -(\dot{I}_A + \dot{I}_B) \] Построение диаграмм: Для топографической диаграммы строится треугольник линейных напряжений \(ABC\). Точка \(N\) — центр. Точка \(n\) ставится согласно рассчитанному \(\dot{U}_{nN}\). Векторы токов строятся из точки \(n\) (или \(N\)) с учетом их углов. При КЗ фазы С точка \(n\) совпадает с вершиной \(C\).