I вариант
Задача 1
Условие: \(AB\) и \(AC\) — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков \(AC\) и \(AO\), если \(AB = 12\) см.
Решение:
1. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Значит, \(AC = AB\).
2. Так как \(AB = 12\) см, то \(AC = 12\) см.
3. Пусть \(O\) — центр окружности, а \(B\) — точка касания. Радиус \(OB\) перпендикулярен касательной \(AB\). Значит, треугольник \(ABO\) — прямоугольный с прямым углом при вершине \(B\).
4. Известно, что радиус окружности \(OB = 9\) см.
5. В прямоугольном треугольнике \(ABO\) по теореме Пифагора: \(AO^2 = AB^2 + OB^2\).
6. Подставим известные значения: \(AO^2 = 12^2 + 9^2\).
7. Вычислим: \(AO^2 = 144 + 81\).
8. \(AO^2 = 225\).
9. Найдем \(AO\): \(AO = \sqrt{225} = 15\) см.
Ответ: \(AC = 12\) см, \(AO = 15\) см.
Задача 2
Условие: Рис. 860. Дано: \(\angle OAB : \angle OBC = 1 : 12\). Найти: \(\angle BCA\), \(\angle BAC\).
На рисунке 860 изображена окружность с центром \(O\), вписанный треугольник \(ABC\). Также дано, что \(\angle AOC = 130^\circ\).
Решение:
1. Угол \(\angle AOC\) является центральным углом, опирающимся на дугу \(AC\). Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Значит, дуга \(AC = 130^\circ\).
2. Угол \(\angle ABC\) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу \(AC\). Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
3. Значит, \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ\).
4. Рассмотрим треугольник \(AOB\). \(OA\) и \(OB\) — радиусы окружности, значит \(OA = OB\). Треугольник \(AOB\) — равнобедренный.
5. Рассмотрим треугольник \(BOC\). \(OB\) и \(OC\) — радиусы окружности, значит \(OB = OC\). Треугольник \(BOC\) — равнобедренный.
6. Рассмотрим треугольник \(AOC\). \(OA\) и \(OC\) — радиусы окружности, значит \(OA = OC\). Треугольник \(AOC\) — равнобедренный.
7. В равнобедренном треугольнике \(AOC\) углы при основании равны: \(\angle OAC = \angle OCA\).
8. Сумма углов в треугольнике \(AOC\) равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ\).
9. \(2 \cdot \angle OCA + 130^\circ = 180^\circ\).
10. \(2 \cdot \angle OCA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
11. \(\angle OCA = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ\).
12. Теперь используем данное отношение: \(\angle OAB : \angle OBC = 1 : 12\). Пусть \(\angle OAB = x\), тогда \(\angle OBC = 12x\).
13. В равнобедренном треугольнике \(AOB\), \(\angle OAB = \angle OBA = x\).
14. В равнобедренном треугольнике \(BOC\), \(\angle OBC = \angle OCB = 12x\).
15. Мы знаем, что \(\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC\).
16. \(65^\circ = x + 12x\).
17. \(65^\circ = 13x\).
18. \(x = \frac{65^\circ}{13} = 5^\circ\).
19. Значит, \(\angle OAB = 5^\circ\), \(\angle OBA = 5^\circ\).
20. И \(\angle OBC = 12 \cdot 5^\circ = 60^\circ\), \(\angle OCB = 12 \cdot 5^\circ = 60^\circ\).
21. Теперь найдем \(\angle BCA\). \(\angle BCA = \angle BCO + \angle OCA\).
22. \(\angle BCA = 60^\circ + 25^\circ = 85^\circ\).
23. Теперь найдем \(\angle BAC\). \(\angle BAC = \angle BAO + \angle OAC\).
24. \(\angle BAC = 5^\circ + 25^\circ = 30^\circ\).
25. Проверим сумму углов треугольника \(ABC\): \(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 65^\circ + 85^\circ + 30^\circ = 180^\circ\). Все верно.
Ответ: \(\angle BCA = 85^\circ\), \(\angle BAC = 30^\circ\).
Задача 3
Условие: Хорды \(MN\) и \(PK\) пересекаются в точке \(E\) так, что \(ME = 12\) см, \(NE = 3\) см, \(PE = KE\). Найдите \(PK\).
Решение:
1. По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. То есть, \(ME \cdot NE = PE \cdot KE\).
3. Подставим известные значения: \(12 \cdot 3 = PE \cdot KE\).
4. \(36 = PE \cdot KE\).
5. По условию, \(PE = KE\). Обозначим \(PE = KE = x\).
6. Тогда \(36 = x \cdot x\), или \(x^2 = 36\).
7. Найдем \(x\): \(x = \sqrt{36} = 6\) см (длина отрезка не может быть отрицательной).
8. Значит, \(PE = 6\) см и \(KE = 6\) см.
9. Длина хорды \(PK\) равна сумме отрезков \(PE\) и \(KE\).
10. \(PK = PE + KE = 6 + 6 = 12\) см.
Ответ: \(PK = 12\) см.
Задача 4
Условие: Окружность с центром \(O\) и радиусом 16 см описана около треугольника \(ABC\) так, что \(\angle OAB = 30^\circ\), \(\angle OCB = 45^\circ\). Найдите стороны \(AB\) и \(BC\) треугольника.
Решение:
1. Радиус окружности \(R = 16\) см. Так как окружность описана около треугольника \(ABC\), то \(OA = OB = OC = R = 16\) см.
2. Рассмотрим треугольник \(AOB\). \(OA = OB = 16\) см, значит, треугольник \(AOB\) — равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике \(AOB\) углы при основании равны: \(\angle OBA = \angle OAB = 30^\circ\).
4. Сумма углов в треугольнике \(AOB\) равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
5. Для нахождения стороны \(AB\) воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике \(AOB\):
\[AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)\]
6. Подставим значения: \(AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ)\).
7. Известно, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\).
8. \(AB^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot (-\frac{1}{2})\).
9. \(AB^2 = 512 + 256 = 768\).
10. \(AB = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}\) см.
11. Рассмотрим треугольник \(BOC\). \(OB = OC = 16\) см, значит, треугольник \(BOC\) — равнобедренный.
12. В равнобедренном треугольнике \(BOC\) углы при основании равны: \(\angle OBC = \angle OCB = 45^\circ\).
13. Сумма углов в треугольнике \(BOC\) равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
14. Для нахождения стороны \(BC\) воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике \(BOC\):
\[BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)\]
15. Подставим значения: \(BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(90^\circ)\).
16. Известно, что \(\cos(90^\circ) = 0\).
17. \(BC^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot 0\).
18. \(BC^2 = 512\).
19. \(BC = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}\) см.
Ответ: \(AB = 16\sqrt{3}\) см, \(BC = 16\sqrt{2}\) см.