Решение системы уравнений: сложение и подстановка (Вариант 1)

Контрольная работа №2 по теме: «Системы уравнений» Вариант 1 Задание 1. Решите систему линейных уравнений способом сложения и подстановки: \[ \begin{cases} 4x - 2y = 2 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \] Решение: 1) Способ сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными: \[ \begin{cases} 4x - 2y = 2 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases} \] Сложим уравнения системы: \[ (4x + 4x) + (-2y + 2y) = 2 + 10 \] \[ 8x = 12 \] \[ x = \frac{12}{8} = 1,5 \] Подставим \(x = 1,5\) во второе уравнение исходной системы: \[ 2 \cdot 1,5 + y = 5 \] \[ 3 + y = 5 \] \[ y = 2 \] 2) Способ подстановки. Выразим \(y\) из второго уравнения: \[ y = 5 - 2x \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ 4x - 2(5 - 2x) = 2 \] \[ 4x - 10 + 4x = 2 \] \[ 8x = 12 \] \[ x = 1,5 \] Найдем \(y\): \[ y = 5 - 2 \cdot 1,5 = 2 \] Ответ: (1,5; 2). Задание 2. Площадь прямоугольника равна 36 см², а его периметр — 24 см. Найдите стороны прямоугольника. Решение: Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника (в см). Составим систему уравнений на основе формул площади \(S = a \cdot b\) и периметра \(P = 2(a + b)\): \[ \begin{cases} a \cdot b = 36 \\ 2(a + b) = 24 \end{cases} \] Разделим второе уравнение на 2: \[ \begin{cases} a \cdot b = 36 \\ a + b = 12 \end{cases} \] Выразим \(b\) из второго уравнения: \(b = 12 - a\). Подставим в первое: \[ a(12 - a) = 36 \] \[ 12a - a^2 = 36 \] \[ a^2 - 12a + 36 = 0 \] Заметим, что это квадрат разности: \[ (a - 6)^2 = 0 \] \[ a - 6 = 0 \Rightarrow a = 6 \] Тогда \(b = 12 - 6 = 6\). Ответ: 6 см и 6 см. Задание 3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases} \] Решение: Выразим \(y\) из второго уравнения: \[ y = 7 - x \] Подставим в первое уравнение: \[ x^2 + (7 - x)^2 = 25 \] \[ x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 \] \[ 2x^2 - 14x + 24 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 12 \] Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 4\). Найдем соответствующие значения \(y\): Если \(x_1 = 3\), то \(y_1 = 7 - 3 = 4\). Если \(x_2 = 4\), то \(y_2 = 7 - 4 = 3\). Ответ: (3; 4), (4; 3).