Решение задачи: Иррациональность и Тригонометрия

Обязательная часть Задание 1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: \( \frac{4}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} \). Решение: Для освобождения от иррациональности умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (\sqrt{8}+\sqrt{5}) \): \[ \frac{4(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{4(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} \] Так как \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), можно записать: \[ \frac{4(2\sqrt{2}+\sqrt{5})}{3} \] Ответ: \( \frac{4(2\sqrt{2}+\sqrt{5})}{3} \). Задание 2. Найдите значение \( \cos \alpha \), если известно, что \( \sin \alpha = \frac{1}{8} \) и \( \alpha \in \text{I} \) четверти. Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \] Так как угол \( \alpha \) находится в I четверти, косинус положителен: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8} \] Ответ: \( \frac{3\sqrt{7}}{8} \). Задание 3. Из точки к плоскости провели две наклонные. Длина первой наклонной равна 6 см и наклонена к плоскости под углом \( 30^\circ \). Найдите длину второй наклонной, если ее проекция равна 5 см. Решение: 1) Пусть \( h \) — перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость. Из прямоугольного треугольника для первой наклонной: \[ h = L_1 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см} \] 2) Пусть \( L_2 \) — искомая длина второй наклонной, а \( p_2 = 5 \text{ см} \) — ее проекция. По теореме Пифагора: \[ L_2 = \sqrt{h^2 + p_2^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \text{ см} \] Ответ: \( \sqrt{34} \text{ см} \). Задание 4. Упростите: \( 19\sin^2 \alpha - 12 + 19\cos^2 \alpha \). Решение: Сгруппируем слагаемые с синусом и косинусом: \[ 19(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 12 \] Используя тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем: \[ 19 \cdot 1 - 12 = 19 - 12 = 7 \] Ответ: 7. Задание 5. Найдите множество значений функции: \( y = 12\sin x + 5 \). Решение: Известно, что область значений синуса: \[ -1 \le \sin x \le 1 \] Умножим все части неравенства на 12: \[ -12 \le 12\sin x \le 12 \] Прибавим 5: \[ -12 + 5 \le 12\sin x + 5 \le 12 + 5 \] \[ -7 \le y \le 17 \] Ответ: \( [-7; 17] \). Задание 6. Вычислите значение производной функции \( f(x) = \sin 7x \) в точке \( x = \frac{\pi}{7} \). Решение: 1) Найдем производную сложной функции: \[ f'(x) = (\sin 7x)' = \cos 7x \cdot (7x)' = 7\cos 7x \] 2) Вычислим значение в заданной точке: \[ f'\left(\frac{\pi}{7}\right) = 7\cos\left(7 \cdot \frac{\pi}{7}\right) = 7\cos \pi \] Так как \( \cos \pi = -1 \): \[ 7 \cdot (-1) = -7 \] Ответ: -7.