Решение задачи №103: Найти углы вписанного четырёхугольника

Решение задачи №103 из учебника. Условие: Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Угол \(A\) на \(58^{\circ}\) больше угла \(B\) и в 4 раза больше угла \(C\). Найдите углы четырёхугольника. Дано: Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. \(\angle A = \angle B + 58^{\circ}\) \(\angle A = 4 \cdot \angle C\) Найти: \(\angle A, \angle B, \angle C, \angle D\). Решение: 1. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\). Следовательно: \[ \angle A + \angle C = 180^{\circ} \] \[ \angle B + \angle D = 180^{\circ} \] 2. Из условия \(\angle A = 4 \cdot \angle C\) подставим значение \(\angle A\) в первое уравнение: \[ 4 \cdot \angle C + \angle C = 180^{\circ} \] \[ 5 \cdot \angle C = 180^{\circ} \] \[ \angle C = 180^{\circ} : 5 \] \[ \angle C = 36^{\circ} \] 3. Теперь найдем угол \(A\): \[ \angle A = 4 \cdot 36^{\circ} = 144^{\circ} \] 4. Найдем угол \(B\), используя условие \(\angle A = \angle B + 58^{\circ}\): \[ 144^{\circ} = \angle B + 58^{\circ} \] \[ \angle B = 144^{\circ} - 58^{\circ} \] \[ \angle B = 86^{\circ} \] 5. Найдем угол \(D\), используя свойство суммы противоположных углов: \[ \angle B + \angle D = 180^{\circ} \] \[ 86^{\circ} + \angle D = 180^{\circ} \] \[ \angle D = 180^{\circ} - 86^{\circ} \] \[ \angle D = 94^{\circ} \] Ответ: \(\angle A = 144^{\circ}\), \(\angle B = 86^{\circ}\), \(\angle C = 36^{\circ}\), \(\angle D = 94^{\circ}\).